領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 2y\}$ 上で、2重積分 $\iint_D x dxdy$ を計算する問題です。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | 0 \le x^2 + y^2 \le 2y\}$ 上で、2重積分 $\iint_D x dxdy$ を計算する問題です。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ を把握します。$x^2 + y^2 \le 2y$ は $x^2 + (y-1)^2 \le 1$ と書き換えられるので、$D$ は原点を中心とする半径0の円（原点）を含み、中心が$(0,1)$、半径が1の円の内部に含まれる領域です。すなわち、$D$ は円 $x^2 + (y-1)^2 = 1$ の内部(円周含む)です。

次に、極座標変換を行います。

$x = r\cos\theta$

$y = r\sin\theta$

とすると、

$x^2 + y^2 = r^2$

となります。したがって、$0 \le x^2 + y^2 \le 2y$ は $0 \le r^2 \le 2r\sin\theta$ となります。よって、$0 \le r \le 2\sin\theta$ となります。

また、 $y \ge 0$ であることから、$\theta$ の範囲は $0 \le \theta \le \pi$ となります。

ヤコビアンは $r$ なので、

$\iint_D x dxdy = \int_0^\pi \int_0^{2\sin\theta} (r\cos\theta) r dr d\theta = \int_0^\pi \cos\theta \int_0^{2\sin\theta} r^2 dr d\theta$

$\int_0^{2\sin\theta} r^2 dr = \frac{1}{3}r^3\Big|_0^{2\sin\theta} = \frac{8}{3}\sin^3\theta$

$\int_0^\pi \cos\theta (\frac{8}{3}\sin^3\theta) d\theta = \frac{8}{3}\int_0^\pi \sin^3\theta \cos\theta d\theta$

ここで、$u = \sin\theta$ と置換すると、$du = \cos\theta d\theta$ となり、積分範囲は $0 \to 0$ となります。

$\frac{8}{3} \int_0^0 u^3 du = 0$

3. 最終的な答え

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