曲線 $\vec{r}(t) = (t - \sin 2t, 1 - \cos 2t, 2\sqrt{2} \sin t)$ 上の点 $P(0)$ から $P(t)$ ($t > 0$) までの曲線の長さを求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $\vec{r}(t) = (t - \sin 2t, 1 - \cos 2t, 2\sqrt{2} \sin t)$ 上の点 $P(0)$ から $P(t)$ ($t > 0$) までの曲線の長さを求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、以下の積分で計算できます。

$L = \int_{0}^{t} ||\vec{r}'(u)|| du$

まず、$\vec{r}(t)$ を微分します。

$\vec{r}'(t) = (1 - 2\cos 2t, 2\sin 2t, 2\sqrt{2}\cos t)$

次に、$||\vec{r}'(t)||$ を計算します。

$||\vec{r}'(t)||^2 = (1 - 2\cos 2t)^2 + (2\sin 2t)^2 + (2\sqrt{2}\cos t)^2$

$= 1 - 4\cos 2t + 4\cos^2 2t + 4\sin^2 2t + 8\cos^2 t$

$= 1 - 4\cos 2t + 4 + 8\cos^2 t$

$= 5 - 4\cos 2t + 8\cos^2 t$

$\cos 2t = 2\cos^2 t - 1$ を用いて、

$||\vec{r}'(t)||^2 = 5 - 4(2\cos^2 t - 1) + 8\cos^2 t$

$= 5 - 8\cos^2 t + 4 + 8\cos^2 t$

$= 9$

よって、 $||\vec{r}'(t)|| = \sqrt{9} = 3$

したがって、曲線の長さは、

$L = \int_{0}^{t} 3 du = 3[u]_{0}^{t} = 3(t - 0) = 3t$

3. 最終的な答え

$3t$