以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x}$

2. 解き方の手順

まず、この極限を直接計算しようとすると、$\frac{0}{0}$ の不定形になることがわかります。そこで、ロピタルの定理を使うことを考えます。

ロピタルの定理より、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)}$ が $\frac{0}{0}$ または $\frac{\infty}{\infty}$ の不定形であるとき、$\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$ が成り立ちます。

$f(x) = e^x + e^{-x} - 2$ と $g(x) = x$ とすると、

$f'(x) = e^x - e^{-x}$

$g'(x) = 1$

となります。

したがって、

$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + e^{-x} - 2}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x - e^{-x}}{1}$

となります。

ここで、$x = 0$ を代入すると、

$\frac{e^0 - e^{-0}}{1} = \frac{1 - 1}{1} = \frac{0}{1} = 0$

となります。

3. 最終的な答え

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