領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2^2\}$ 上で、関数 $(x+y)^2$ の2重積分 $\iint_D (x+y)^2 dxdy$ を計算します。

1. 問題の内容

領域 $D = \{(x, y) | x^2 + y^2 \leq 2^2\}$ 上で、関数 $(x+y)^2$ の2重積分 $\iint_D (x+y)^2 dxdy$ を計算します。

2. 解き方の手順

まず、領域 $D$ は原点を中心とする半径 2 の円板であることに注目します。積分を計算するために、極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用います。このとき、$x^2 + y^2 = r^2$ となり、積分範囲は $0 \leq r \leq 2$、$0 \leq \theta \leq 2\pi$ となります。ヤコビアンは $r$ なので、$dxdy = rdrd\theta$ となります。

与えられた積分は、

$\iint_D (x+y)^2 dxdy = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (r\cos\theta + r\sin\theta)^2 rdrd\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^2(\cos\theta + \sin\theta)^2 rdrd\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3(\cos^2\theta + 2\cos\theta\sin\theta + \sin^2\theta)drd\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3(1 + 2\cos\theta\sin\theta)drd\theta$

$= \int_0^{2\pi} \int_0^2 r^3(1 + \sin(2\theta))drd\theta$

まず、$r$ で積分します。

$\int_0^2 r^3(1 + \sin(2\theta))dr = (1 + \sin(2\theta)) \int_0^2 r^3dr = (1 + \sin(2\theta)) \left[ \frac{r^4}{4} \right]_0^2 = (1 + \sin(2\theta)) \frac{2^4}{4} = 4(1 + \sin(2\theta))$

次に、$\theta$ で積分します。

$\int_0^{2\pi} 4(1 + \sin(2\theta))d\theta = 4 \int_0^{2\pi} (1 + \sin(2\theta))d\theta = 4 \left[ \theta - \frac{\cos(2\theta)}{2} \right]_0^{2\pi}$

$= 4 \left[ (2\pi - \frac{\cos(4\pi)}{2}) - (0 - \frac{\cos(0)}{2}) \right] = 4 \left[ (2\pi - \frac{1}{2}) - (0 - \frac{1}{2}) \right] = 4(2\pi) = 8\pi$

3. 最終的な答え

$8\pi$