以下の4つの積分を計算する問題です。 (1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$ (2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$ (3) $\int \sqrt{x} dx$ (4) $\int \frac{1}{x^2 + 3} dx$

1. 問題の内容

以下の4つの積分を計算する問題です。

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx$

(2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx$

(3) $\int \sqrt{x} dx$

(4) $\int \frac{1}{x^2 + 3} dx$

2. 解き方の手順

(1) $\int \frac{1}{\sqrt{x}} dx = \int x^{-1/2} dx$

$x^{-1/2}$ の積分は、指数のルールに従って計算します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$)

したがって、

$\int x^{-1/2} dx = \frac{x^{(-1/2)+1}}{(-1/2)+1} + C = \frac{x^{1/2}}{1/2} + C = 2\sqrt{x} + C$

(2) $\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \int \frac{1}{x} dx + \int \frac{1}{x^2} dx$

$\int \frac{1}{x} dx = \ln|x| + C_1$

$\int \frac{1}{x^2} dx = \int x^{-2} dx = \frac{x^{-2+1}}{-2+1} + C_2 = \frac{x^{-1}}{-1} + C_2 = -\frac{1}{x} + C_2$

したがって、

$\int (\frac{1}{x} + \frac{1}{x^2}) dx = \ln|x| - \frac{1}{x} + C$

(3) $\int \sqrt{x} dx = \int x^{1/2} dx$

$x^{1/2}$ の積分は、指数のルールに従って計算します。

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ (ただし $n \neq -1$)

したがって、

$\int x^{1/2} dx = \frac{x^{(1/2)+1}}{(1/2)+1} + C = \frac{x^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}x^{3/2} + C = \frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

(4) $\int \frac{1}{x^2 + 3} dx$

この積分は、$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換することで解けます。

$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$

$x^2 + 3 = (\sqrt{3} \tan \theta)^2 + 3 = 3 \tan^2 \theta + 3 = 3 (\tan^2 \theta + 1) = 3 \sec^2 \theta$

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \int \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta} d\theta = \int \frac{\sqrt{3}}{3} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \theta + C = \frac{1}{\sqrt{3}} \theta + C$

$\tan \theta = \frac{x}{\sqrt{3}}$ より、$\theta = \arctan \frac{x}{\sqrt{3}}$

したがって、

$\int \frac{1}{x^2 + 3} dx = \frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$

3. 最終的な答え

(1) $2\sqrt{x} + C$

(2) $\ln|x| - \frac{1}{x} + C$

(3) $\frac{2}{3}x\sqrt{x} + C$

(4) $\frac{1}{\sqrt{3}} \arctan \frac{x}{\sqrt{3}} + C$