$$\frac{x+1}{x^2+3} = \frac{x}{x^2+3} + \frac{1}{x^2+3}$$

## 問題 (1) の内容

定積分 $\int_{0}^{3} \frac{x+1}{x^2+3} dx$ の値を求めます。

## 解き方の手順

1. 分数を2つに分割します。

$$\frac{x+1}{x^2+3} = \frac{x}{x^2+3} + \frac{1}{x^2+3}$$

2. それぞれの項を積分します。

- 第一項：$\int_{0}^{3} \frac{x}{x^2+3} dx$

$u = x^2+3$ と置換すると、$du = 2x dx$ となります。よって $x dx = \frac{1}{2} du$。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $u=3$、$x=3$ のとき $u=12$。

$$\int_{3}^{12} \frac{1}{2u} du = \frac{1}{2} [\ln|u|]_{3}^{12} = \frac{1}{2} (\ln 12 - \ln 3) = \frac{1}{2} \ln \frac{12}{3} = \frac{1}{2} \ln 4 = \ln 2$$

- 第二項：$\int_{0}^{3} \frac{1}{x^2+3} dx$

$x = \sqrt{3} \tan \theta$ と置換すると、$dx = \sqrt{3} \sec^2 \theta d\theta$。また、$x^2+3 = 3 \tan^2 \theta + 3 = 3 \sec^2 \theta$。

積分範囲も変更します。$x=0$ のとき $\theta = 0$、$x=3$ のとき $\tan \theta = \sqrt{3}$ より $\theta = \frac{\pi}{3}$。

$$\int_{0}^{\frac{\pi}{3}} \frac{\sqrt{3} \sec^2 \theta}{3 \sec^2 \theta} d\theta = \frac{\sqrt{3}}{3} \int_{0}^{\frac{\pi}{3}} d\theta = \frac{1}{\sqrt{3}} [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\pi}{3} = \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

3. 積分結果を合計します。

$$\int_{0}^{3} \frac{x+1}{x^2+3} dx = \ln 2 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$$

## 最終的な答え

$\ln 2 + \frac{\pi}{3\sqrt{3}}$