$\sqrt{29 - n}$ が整数となるような自然数 $n$ の値をすべて求める問題です。

数論平方根整数自然数平方数
2025/6/18

1. 問題の内容

29n\sqrt{29 - n} が整数となるような自然数 nn の値をすべて求める問題です。

2. 解き方の手順

29n\sqrt{29 - n} が整数となるためには、29n29 - n が0以上の平方数である必要があります。つまり、29n=k229 - n = k^2kkは0以上の整数)と表せる必要があります。
nn は自然数なので、n>0n > 0 です。したがって、29n<2929 - n < 29 となります。
よって、k2k^200 以上 2929 未満の平方数である必要があります。
kk の候補は 0,1,2,3,4,50, 1, 2, 3, 4, 5 です。
それぞれの kk に対して、n=29k2n = 29 - k^2 を計算します。
* k=0k = 0 のとき、n=2902=29n = 29 - 0^2 = 29
* k=1k = 1 のとき、n=2912=28n = 29 - 1^2 = 28
* k=2k = 2 のとき、n=2922=25n = 29 - 2^2 = 25
* k=3k = 3 のとき、n=2932=20n = 29 - 3^2 = 20
* k=4k = 4 のとき、n=2942=13n = 29 - 4^2 = 13
* k=5k = 5 のとき、n=2952=4n = 29 - 5^2 = 4

3. 最終的な答え

n=4,13,20,25,28,29n = 4, 13, 20, 25, 28, 29

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