大人6人と子供4人がいる。 (1) 1列に並ぶとき、どの子どもも隣り合わない確率を求める。 (2) 円形に並ぶとき、特定の子供A, Bが向かい合う確率を求める。

1. 問題の内容

大人6人と子供4人がいる。

(1) 1列に並ぶとき、どの子どもも隣り合わない確率を求める。

(2) 円形に並ぶとき、特定の子供A, Bが向かい合う確率を求める。

2. 解き方の手順

(1)

まず、大人6人を一列に並べる。これは $6!$ 通り。

次に、大人6人の間と両端の7か所から4か所を選び、子供を並べる。これは $_7P_4$ 通り。

したがって、どの子どもも隣り合わない並び方は、$6! \times {}_7P_4$ 通り。

全体の並び方は、$10!$ 通り。

求める確率は、

$\frac{6! \times {}_7P_4}{10!} = \frac{6! \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6!} = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{10 \times 9 \times 8 \times 7} = \frac{6 \times 5 \times 4}{10 \times 9 \times 8} = \frac{120}{720} = \frac{1}{6}$

(2)

まず、AとBを向かい合わせに固定する。

AとBの位置を固定したので、残りの8人を並べることになる。

円順列なので、1人を固定して残りの人数を並べる。

AとBの位置を固定した場合、残り8人から2人を引いた6人の円順列の並び方は $(8-1)! = 7!$ と考えがちだが、今回はAとBが固定されているので、AとBの間の人数は考えなくて良い。

残りの8人の並び方は、円順列として考えるのではなく、単純に並べる順列として考える。

したがって、残りの8人の並び方は $8!$ 通り。

全体の並び方は、10人の円順列なので $(10-1)! = 9!$ 通り。

したがって、求める確率は、

$\frac{8!}{9!} = \frac{8!}{9 \times 8!} = \frac{1}{9}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{6}$

(2) $\frac{1}{9}$