5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる数字を3個選んで3桁の整数を作ります。 (1) 3桁の整数は全部で何個できるか。 (2) 偶数は何個できるか。

## 問題3

1. 問題の内容

5個の数字 0, 1, 2, 3, 4 から異なる数字を3個選んで3桁の整数を作ります。

(1) 3桁の整数は全部で何個できるか。

(2) 偶数は何個できるか。

2. 解き方の手順

(1) 3桁の整数を作る総数

* 百の位は0以外の4通り(1,2,3,4)

* 十の位は百の位で使った数以外の4通り(0を含む)

* 一の位は百の位と十の位で使った数以外の3通り

よって、3桁の整数は $4 \times 4 \times 3$ 個できます。

(2) 偶数を作る総数

偶数になるのは、一の位が0, 2, 4のいずれかの場合です。場合分けして考えます。

(i) 一の位が0の場合

* 百の位は0以外の4通り(1,2,3,4)

* 十の位は百の位と一の位で使った数以外の3通り

よって、$4 \times 3 = 12$ 個

(ii) 一の位が2または4の場合

* 一の位は2通り

* 百の位は0と一の位で使った数字以外の3通り

* 十の位は百の位と一の位で使った数字以外の3通り

よって、$2 \times 3 \times 3 = 18$ 個

(i), (ii)より、偶数は $12 + 18$ 個できます。

3. 最終的な答え

(1) 48個

(2) 30個

## 問題4

1. 問題の内容

A, B, C, D, E, F の6文字の順列について考えます。

(1) 6文字を1列に並べる並べ方は全部で何通りあるか。そのとき、左端の文字がAである並べ方は全部で何通りあるか。

(2) 文字の列 ABCDEF を1番目として最後の文字の列 FEDCBA まで、アルファベット順の辞書式に並べます。

(ア) 文字の列 BCDEAF は何番目であるか。

(イ) 256番目の文字の列は何か。

2. 解き方の手順

(1) 6文字を並べる並べ方の総数

6個の異なるものを並べる順列なので、$6!$ 通り。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

左端がAである並べ方の総数

左端をAで固定すると、残りの5文字を並べる順列なので、$5!$ 通り。

$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1$

(2) (ア) BCDEAFが何番目か

まず、Aから始まる順列は何個あるか：$5! = 120$個

次に、Bから始まる順列で、2番目がAである順列は何個あるか：$4! = 24$個

次に、Bから始まる順列で、2番目がCである順列で、3番目がAである順列は何個あるか：$3! = 6$個

次に、Bから始まる順列で、2番目がCである順列で、3番目がDである順列で、4番目がAである順列は何個あるか：$2! = 2$個

次に、Bから始まる順列で、2番目がCである順列で、3番目がDである順列で、4番目がEである順列で、5番目がAである順列は何個あるか：$1! = 1$個

BCDEAFの順番は次の通り：$120 + 24 + 6 + 2 + 1 + 1 = 154$

つまり、BCDEAFは154番目。

(イ) 256番目の文字の列は何か

* Aから始まるものは、$5! = 120$個。

* Bから始まるものは、$5! = 120$個。

ここまでで $120 + 120 = 240$個。

256番目はCから始まる。

256 - 240 = 16 より、Cから始まる16番目を探す。

* CAから始まるものは、$4! = 24$個。

16 < 24 より、CAから始まる。

CA から始まる辞書式順で16番目を考える。

残りの文字は B, D, E, F。

順番に並び替えた場合：

CABDEF (1)

CABDFE (2)

CABEDF (3)

CABEDF (4)

CABFDE (5)

CABFED (6)

CADBEF (7)

CADBFE (8)

CADEBF (9)

CADEFB (10)

CADFBE (11)

CADFEB (12)

CAEBDF (13)

CAEBFD (14)

CAEDBF (15)

CAEDFB (16)

したがって、256番目の文字の列はCAEDFBである。

3. 最終的な答え

(1) 720通り、120通り

(2) (ア) 154番目 (イ) CAEDFB