不等式 $2(\log_2 x)^2 + \log_2 x^3 \le 2$ を解く問題です。

1. 問題の内容

不等式 $2(\log_2 x)^2 + \log_2 x^3 \le 2$ を解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、対数の性質を利用して不等式を整理します。

$\log_2 x^3 = 3\log_2 x$ より、不等式は以下のようになります。

$2(\log_2 x)^2 + 3\log_2 x \le 2$

$t = \log_2 x$ と置くと、不等式は以下のようになります。

$2t^2 + 3t \le 2$

$2t^2 + 3t - 2 \le 0$

この二次不等式を解きます。

$2t^2 + 3t - 2 = (2t - 1)(t + 2)$ なので、

$(2t - 1)(t + 2) \le 0$

$-2 \le t \le \frac{1}{2}$

$t = \log_2 x$ より、

$-2 \le \log_2 x \le \frac{1}{2}$

底が2なので、各辺を2の指数とします。

$2^{-2} \le x \le 2^{\frac{1}{2}}$

$\frac{1}{4} \le x \le \sqrt{2}$

また、真数条件より、$x > 0$ である必要があります。

上記の解は真数条件を満たしているので、これが最終的な答えとなります。

3. 最終的な答え

$\frac{1}{4} \le x \le \sqrt{2}$