一辺の長さが2の正六角形ABCDEFの対角線AD, BE, CFの交点をOとする。 $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ の値を求め、 さらに、正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD} + 3\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、 $\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表し、 $|\overrightarrow{OP}|$ の値を求める。

1. 問題の内容

一辺の長さが2の正六角形ABCDEFの対角線AD, BE, CFの交点をOとする。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ の値を求め、

さらに、正六角形ABCDEFの内部の点Pが $\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD} + 3\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{0}$ を満たすとき、

$\overrightarrow{OP}$ を $\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ で表し、 $|\overrightarrow{OP}|$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB}$ を求める。

正六角形の一辺の長さが2なので、$|\overrightarrow{OA}| = |\overrightarrow{OB}| = 2$。

$\overrightarrow{OA}$ と $\overrightarrow{OB}$ のなす角は120°。

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = |\overrightarrow{OA}| |\overrightarrow{OB}| \cos{120^\circ} = 2 \cdot 2 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$

(2) $\overrightarrow{PB} + 2\overrightarrow{PD} + 3\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{0}$ より、$\overrightarrow{OP}$ を求める。

$\overrightarrow{PB} = \overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{PD} = \overrightarrow{OD} - \overrightarrow{OP} = - \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{PF} = \overrightarrow{OF} - \overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}$

$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} + 2(- \overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) + 3(\overrightarrow{OA} - \overrightarrow{OP}) = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{OB} - \overrightarrow{OP} - 2\overrightarrow{OA} - 2\overrightarrow{OP} + 3\overrightarrow{OA} - 3\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{0}$

$\overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB} - 6\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{0}$

$6\overrightarrow{OP} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$

(3) $|\overrightarrow{OP}|$ を求める。

$|\overrightarrow{OP}|^2 = \overrightarrow{OP} \cdot \overrightarrow{OP} = (\frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}) \cdot (\frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB})$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = \frac{1}{36}|\overrightarrow{OA}|^2 + \frac{2}{36}\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} + \frac{1}{36}|\overrightarrow{OB}|^2$

$|\overrightarrow{OP}|^2 = \frac{1}{36}(4) + \frac{2}{36}(-2) + \frac{1}{36}(4) = \frac{4-4+4}{36} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$

$|\overrightarrow{OP}| = \sqrt{\frac{1}{9}} = \frac{1}{3}$

3. 最終的な答え

$\overrightarrow{OA} \cdot \overrightarrow{OB} = -2$

$\overrightarrow{OP} = \frac{1}{6}\overrightarrow{OA} + \frac{1}{6}\overrightarrow{OB}$

$|\overrightarrow{OP}| = \frac{1}{3}$