座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x, y)$が、$x = e^{-t}\cos(πt)$, $y = e^{-t}\sin(πt)$で表されるとき、$t = 0$から$t = 2$までにPが通過する道のり$s$を求めよ。

1. 問題の内容

座標平面上を運動する点Pの時刻$t$における座標$(x, y)$が、$x = e^{-t}\cos(πt)$, $y = e^{-t}\sin(πt)$で表されるとき、$t = 0$から$t = 2$までにPが通過する道のり$s$を求めよ。

2. 解き方の手順

道のり$s$は、以下の式で計算できます。

$s = \int_{0}^{2} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$

まず、$\frac{dx}{dt}$と$\frac{dy}{dt}$を計算します。

$\frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-t}\cos(πt)) = -e^{-t}\cos(πt) - πe^{-t}\sin(πt) = -e^{-t}(\cos(πt) + π\sin(πt))$

$\frac{dy}{dt} = \frac{d}{dt}(e^{-t}\sin(πt)) = -e^{-t}\sin(πt) + πe^{-t}\cos(πt) = e^{-t}(π\cos(πt) - \sin(πt))$

次に、$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2$を計算します。

$(\frac{dx}{dt})^2 = e^{-2t}(\cos^2(πt) + 2π\cos(πt)\sin(πt) + π^2\sin^2(πt))$

$(\frac{dy}{dt})^2 = e^{-2t}(π^2\cos^2(πt) - 2π\cos(πt)\sin(πt) + \sin^2(πt))$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = e^{-2t}(\cos^2(πt) + \sin^2(πt) + π^2\cos^2(πt) + π^2\sin^2(πt)) = e^{-2t}(1 + π^2)$

したがって、

$\sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} = \sqrt{e^{-2t}(1 + π^2)} = e^{-t}\sqrt{1 + π^2}$

$s = \int_{0}^{2} e^{-t}\sqrt{1 + π^2} dt = \sqrt{1 + π^2} \int_{0}^{2} e^{-t} dt = \sqrt{1 + π^2} [-e^{-t}]_{0}^{2} = \sqrt{1 + π^2} (-e^{-2} + e^0) = \sqrt{1 + π^2}(1 - e^{-2})$

3. 最終的な答え

$\sqrt{1 + π^2}(1 - e^{-2})$