媒介変数表示された曲線 $x = 2(t - \sin t), y = 2(1 - \cos t)$ の、$0 \le t \le 2\pi$ における長さ $L$ を求める。

1. 問題の内容

媒介変数表示された曲線 $x = 2(t - \sin t), y = 2(1 - \cos t)$ の、$0 \le t \le 2\pi$ における長さ $L$ を求める。

2. 解き方の手順

曲線 $x=f(t), y=g(t)$ の $a \le t \le b$ における長さは、

$L = \int_a^b \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt$

で与えられる。

まず、$x$ と $y$ を $t$ で微分する。

$\frac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t)$

$\frac{dy}{dt} = 2\sin t$

次に、$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2$ を計算する。

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = (2(1 - \cos t))^2 + (2\sin t)^2 = 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t) + 4\sin^2 t = 4(1 - 2\cos t + \cos^2 t + \sin^2 t) = 4(1 - 2\cos t + 1) = 4(2 - 2\cos t) = 8(1 - \cos t)$

$1 - \cos t = 2\sin^2 \frac{t}{2}$ であるから、

$\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = 8(2\sin^2 \frac{t}{2}) = 16\sin^2 \frac{t}{2}$

したがって、

$\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} = \sqrt{16\sin^2 \frac{t}{2}} = 4\left|\sin \frac{t}{2}\right|$

$0 \le t \le 2\pi$ より $0 \le \frac{t}{2} \le \pi$ なので、$\sin \frac{t}{2} \ge 0$ である。

したがって、$\left|\sin \frac{t}{2}\right| = \sin \frac{t}{2}$

$L = \int_0^{2\pi} 4\sin \frac{t}{2} dt = 4\left[-2\cos \frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -8\left[\cos \frac{t}{2}\right]_0^{2\pi} = -8(\cos \pi - \cos 0) = -8(-1 - 1) = -8(-2) = 16$

3. 最終的な答え

16