SENSEI AI
About App

与えられた積分を計算します。 積分は次の通りです。 $\int \frac{1}{e^{-x}-3} dx$

解析学積分置換積分指数関数
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた積分を計算します。
積分は次の通りです。
∫1e−x−3dx\int \frac{1}{e^{-x}-3} dx

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を整理します。
1e−x−3=11ex−3=11−3exex=ex1−3ex\frac{1}{e^{-x}-3} = \frac{1}{\frac{1}{e^x} - 3} = \frac{1}{\frac{1-3e^x}{e^x}} = \frac{e^x}{1-3e^x}
したがって、積分は次のようになります。
∫ex1−3exdx\int \frac{e^x}{1-3e^x} dx
ここで、置換積分を行います。
u=1−3exu = 1-3e^x と置くと、
dudx=−3ex\frac{du}{dx} = -3e^x より、
dx=du−3exdx = \frac{du}{-3e^x}
したがって、積分は次のようになります。
∫exudu−3ex=∫1udu−3=−13∫1udu=−13ln⁡∣u∣+C\int \frac{e^x}{u} \frac{du}{-3e^x} = \int \frac{1}{u} \frac{du}{-3} = -\frac{1}{3} \int \frac{1}{u} du = -\frac{1}{3} \ln |u| + C
u=1−3exu = 1-3e^x を代入して、
−13ln⁡∣1−3ex∣+C-\frac{1}{3} \ln |1-3e^x| + C

3. 最終的な答え

−13ln⁡∣1−3ex∣+C-\frac{1}{3} \ln |1-3e^x| + C

「解析学」の関連問題

$f(x) = -x^2 + 4x$とする。 (1) 放物線$C: y = f(x)$と$x$軸の交点のうち、原点でない方をAとする。点Aの座標を求める。 (2) $x$軸と$C$が囲む部分の面積を求...

二次関数放物線積分接線微分
2025/6/19

(1) $0 < \alpha < \frac{\pi}{2}$ かつ $\sin \alpha = \frac{3}{5}$ のとき、$\cos \alpha$、$\sin 2\alpha$ の値を...

三角関数対数関数グラフ平行移動
2025/6/19

問題は以下の2つです。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める。 (2) $n$ が奇数のとき、 $\si...

極限テイラー展開ロピタルの定理三角関数
2025/6/19

問題は2つあります。 1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ を求める問題です。 2つ目は、$n$ が奇数...

極限ロピタルの定理級数展開sin関数
2025/6/19

与えられた3つの関数について、それぞれの極値を求める。

極値微分関数の極値微分法三角関数対数関数
2025/6/19

問題3(1)について、関数 $y = \frac{\log x}{x^2}$ の $1 \le x \le 3$ における最大値と最小値を求める。

関数の最大最小微分対数関数増減表
2025/6/19

次の定積分を求めます。 (1) $\int_{-1}^{0} \frac{x^3}{(1-x)^2} dx$ (2) $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin^3 x}...

定積分置換積分部分分数分解三角関数奇関数
2025/6/19

定積分 $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \sin^2 x \cos x \, dx$ を計算します。

定積分置換積分三角関数
2025/6/19

はい、承知いたしました。画像にある定積分の問題を解いていきます。

定積分部分分数分解置換積分三角関数指数関数
2025/6/19

定積分 $\int_{1}^{2} \frac{x^3}{1+x^2} dx$ を計算します。

積分定積分部分分数分解置換積分
2025/6/19