曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$) の長さ $L$ を求める問題です。

1. 問題の内容

曲線 $y = x\sqrt{x}$ ($0 \le x \le 5$) の長さ $L$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

曲線の長さの公式は、 $L = \int_a^b \sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} dx$ で与えられます。

まず、$y = x\sqrt{x} = x^{3/2}$ を微分します。

$\frac{dy}{dx} = \frac{3}{2} x^{1/2} = \frac{3}{2}\sqrt{x}$

次に、$(\frac{dy}{dx})^2$ を計算します。

$(\frac{dy}{dx})^2 = (\frac{3}{2}\sqrt{x})^2 = \frac{9}{4}x$

したがって、$\sqrt{1 + (\frac{dy}{dx})^2} = \sqrt{1 + \frac{9}{4}x}$ となります。

積分範囲は $0 \le x \le 5$ なので、求める曲線の長さ $L$ は次の積分で与えられます。

$L = \int_0^5 \sqrt{1 + \frac{9}{4}x} dx$

ここで、$u = 1 + \frac{9}{4}x$ と置換すると、$du = \frac{9}{4}dx$ より、$dx = \frac{4}{9}du$ となります。

$x = 0$ のとき $u = 1$, $x = 5$ のとき $u = 1 + \frac{9}{4}(5) = 1 + \frac{45}{4} = \frac{49}{4}$ となります。

したがって、積分は

$L = \int_1^{\frac{49}{4}} \sqrt{u} \cdot \frac{4}{9} du = \frac{4}{9} \int_1^{\frac{49}{4}} u^{1/2} du$

$L = \frac{4}{9} [\frac{2}{3}u^{3/2}]_1^{\frac{49}{4}} = \frac{8}{27} [u^{3/2}]_1^{\frac{49}{4}}$

$L = \frac{8}{27} [(\frac{49}{4})^{3/2} - 1^{3/2}] = \frac{8}{27} [(\frac{7}{2})^3 - 1] = \frac{8}{27} [\frac{343}{8} - 1] = \frac{8}{27} [\frac{343 - 8}{8}] = \frac{8}{27} \cdot \frac{335}{8} = \frac{335}{27}$

3. 最終的な答え

$\frac{335}{27}$