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与えられた4つの行列のランクをそれぞれ求める問題です。行列は以下の通りです。 (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}$ (4) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}$

代数学線形代数行列ランク行基本変形
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた4つの行列のランクをそれぞれ求める問題です。行列は以下の通りです。
(1) (212012101)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(2) (2−310015−41−13−22−5−98)\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}
(3) (12315−31−19262)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}
(4) (123456789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列のランクは、行列の線形独立な行（または列）の最大数です。行基本変形を用いて階段行列に変形し、0でない行の数を数えることで求められます。
(1)
(212012101)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
まず、3行目を2倍し、1行目から引きます。
(212012000)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
次に、1行目を2行目の影響を取り除きます。
(200012000)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
最後に、1行目を2で割ります。
(100012000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2行なので、ランクは2です。
(2)
(2−310015−41−13−22−5−98)\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}
1行目と3行目を入れ替えます。
(1−13−2015−42−3102−5−98)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}
3行目から1行目の2倍を引きます。
4行目から1行目の2倍を引きます。
(1−13−2015−40−1−540−3−1512)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}
3行目に2行目を加えます。
4行目に2行目の3倍を加えます。
(1−13−2015−400000000)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2行なので、ランクは2です。
(3)
(12315−31−19262)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 2 \end{pmatrix}
2行目から1行目を引きます。
3行目から1行目を引きます。
4行目から1行目の2倍を引きます。
(12303−60−3602−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
3行目に2行目を加えます。
(12303−600002−4)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & -4 \end{pmatrix}
4行目に2行目の−23\frac{-2}{3}倍を加えます。
(12303−6000000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2行なので、ランクは2です。
(4)
(123456789)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{pmatrix}
2行目から1行目の4倍を引きます。
3行目から1行目の7倍を引きます。
(1230−3−60−6−12)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & -6 & -12 \end{pmatrix}
3行目から2行目の2倍を引きます。
(1230−3−6000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & -3 & -6 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}
0でない行は2行なので、ランクは2です。

3. 最終的な答え

(1) ランク: 2
(2) ランク: 2
(3) ランク: 2
(4) ランク: 2

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