問題は2つあります。 (1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を計算すること。 (2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ (ここで、$0 < \theta < 1$) が与えられているとして、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めること。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を計算すること。

(2) $n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ (ここで、$0 < \theta < 1$) が与えられているとして、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで正しく求めること。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を計算します。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ と変形できます。

$y = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $y \to 0$ となります。

したがって、

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \lim_{y \to 0} \frac{1}{y} \log \left( \frac{1-y}{1+y} \right) = \lim_{y \to 0} \frac{\log(1-y) - \log(1+y)}{y}$

ここで、$\log(1+z) = z - \frac{z^2}{2} + \frac{z^3}{3} - \dots$ を用いると、

$\log(1-y) = -y - \frac{y^2}{2} - \frac{y^3}{3} - \dots$

$\log(1+y) = y - \frac{y^2}{2} + \frac{y^3}{3} - \dots$

$\log(1-y) - \log(1+y) = -2y - \frac{2y^3}{3} - \dots$

したがって、

$\lim_{y \to 0} \frac{\log(1-y) - \log(1+y)}{y} = \lim_{y \to 0} \frac{-2y - \frac{2y^3}{3} - \dots}{y} = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!} x^n$ を用いて、$\sin \frac{1}{3}$ を小数第4位まで求めます。

$x = \frac{1}{3}$ とします。

$n$ が奇数なので、$n=1, 3, 5, \dots$ とします。

$n=1$ のとき、$\frac{n-3}{2} = -1 < 0$ であるため、和は存在しません。

$\sin x = \frac{\sin(\theta x + \frac{\pi}{2})}{1!} x = \sin(\theta x + \frac{\pi}{2}) x = \sin(\theta/3 + \pi/2) \cdot (1/3)$

$n=3$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 0$ となり、$\sum_{\ell=0}^{0} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} = \frac{(-1)^0}{(2(0)+1)!} x^{2(0)+1} = \frac{1}{1!} x = x$

$\sin x = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!} x^3 = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{6} x^3$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{3\pi}{2})}{6} (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{3\pi}{2})}{6} \frac{1}{27} = \frac{1}{3} + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{3\pi}{2})}{162}$

$\frac{1}{3} \approx 0.3333$

$\frac{1}{162} \approx 0.0062$

$n=5$ のとき、$\frac{n-3}{2} = 1$ となり、$\sum_{\ell=0}^{1} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!} x^{2\ell+1} = x - \frac{x^3}{3!} = x - \frac{x^3}{6}$

$\sin x = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!} x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{120} x^5$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} (\frac{1}{3})^3 + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6} \frac{1}{27} + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{120} \frac{1}{243} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{29160}$

$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3333 - 0.0062 + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{29160} \approx 0.3271 + \frac{\sin(\theta/3 + \frac{5\pi}{2})}{29160}$

$\frac{1}{29160} \approx 0.000034$

$x - \frac{x^3}{6} = \frac{1}{3} - \frac{(1/3)^3}{6} = \frac{1}{3} - \frac{1}{6\cdot 27} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54-1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716049382716$

$x - \frac{x^3}{6} + \frac{x^5}{120} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{1}{120\cdot 243} = \frac{53}{162} + \frac{1}{29160} = \frac{53 \cdot 180 + 1}{29160} = \frac{9541}{29160} \approx 0.32719064657980$

$\sin(1/3) \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$