問題は2つあります。 1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求める問題です。 2つ目は、$n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) で表される $\sin x$ の式を用いて、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める問題です。

1. 問題の内容

問題は2つあります。

1つ目は、極限 $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を求める問題です。

2つ目は、$n$ が奇数のとき、$\sin x = \sum_{\ell=0}^{\frac{n-3}{2}} \frac{(-1)^\ell}{(2\ell+1)!}x^{2\ell+1} + \frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ ($0 < \theta < 1$) で表される $\sin x$ の式を用いて、$\sin \frac{1}{3}$ の値を小数第4位まで求める問題です。

2. 解き方の手順

(1) 極限の計算

$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right)$ を計算します。

$\frac{x-1}{x+1} = \frac{1 - \frac{1}{x}}{1 + \frac{1}{x}}$ であるから、$t = \frac{1}{x}$ とおくと、$x \to +\infty$ のとき $t \to 0$ となります。

したがって、

$$\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{1}{t} \log \left( \frac{1-t}{1+t} \right) = \lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t}$$

ここで、$\log(1+x)$ のマクローリン展開は $\log(1+x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \dots$ であるので、

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{(-t - \frac{t^2}{2} - \frac{t^3}{3} - \dots) - (t - \frac{t^2}{2} + \frac{t^3}{3} - \dots)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-2t - \frac{2t^3}{3} - \dots}{t} = -2$$

または、ロピタルの定理を使うと

$$\lim_{t \to 0} \frac{\log(1-t) - \log(1+t)}{t} = \lim_{t \to 0} \frac{-\frac{1}{1-t} - \frac{1}{1+t}}{1} = \frac{-1-1}{1} = -2$$

(2) $\sin \frac{1}{3}$ の計算

与えられた式で $x = \frac{1}{3}$ とします。$\sin x$ の近似値を小数第4位まで求めるためには、誤差項 $\frac{\sin(\theta x + \frac{n\pi}{2})}{n!}x^n$ が十分小さくなるように $n$ を選びます。

$n=3$ のとき、

$\sin x = x + \frac{\sin(\theta x + \frac{3\pi}{2})}{3!}x^3 = x - \frac{\cos(\theta x)}{6} x^3$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6} \left( \frac{1}{3} \right)^3 = \frac{1}{3} - \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6 \cdot 27}$

誤差項は $|\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{6 \cdot 27}| \le \frac{1}{6 \cdot 27} = \frac{1}{162} \approx 0.00617$ となり、小数第3位に影響が出る可能性があるため、より大きい $n$ を試します。

$n=5$ のとき、

$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{\sin(\theta x + \frac{5\pi}{2})}{5!}x^5 = x - \frac{x^3}{6} + \frac{\cos(\theta x)}{120}x^5$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{(\frac{1}{3})^3}{6} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120} (\frac{1}{3})^5 = \frac{1}{3} - \frac{1}{6 \cdot 27} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{120 \cdot 243}$

$\sin \frac{1}{3} = \frac{1}{3} - \frac{1}{162} + \frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}$

誤差項は $|\frac{\cos(\frac{\theta}{3})}{29160}| \le \frac{1}{29160} \approx 0.000034 < 0.00005$ となり、小数第5位に影響がある程度なので、$n=5$ で十分と考えられます。

$\sin \frac{1}{3} \approx \frac{1}{3} - \frac{1}{162} = \frac{54 - 1}{162} = \frac{53}{162} \approx 0.32716$

小数第4位までを考えると、$\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$

3. 最終的な答え

(1) $\lim_{x \to +\infty} x \log \left( \frac{x-1}{x+1} \right) = -2$

(2) $\sin \frac{1}{3} \approx 0.3272$