与えられた関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 8x - 4$ について何かを求める問題です。問題文に何をするか指示がないので、今回は関数の増減表を作成し、極値を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 8x - 4$ について何かを求める問題です。問題文に何をするか指示がないので、今回は関数の増減表を作成し、極値を求めます。

2. 解き方の手順

まず、$f(x)$ を微分して、$f'(x)$ を求めます。

$f'(x) = -3x^2 + 6x + 8$

次に、$f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。これは2次方程式なので、解の公式を使います。

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(-3)(8)}}{2(-3)}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{36 + 96}}{-6}$

$x = \frac{-6 \pm \sqrt{132}}{-6}$

$x = \frac{-6 \pm 2\sqrt{33}}{-6}$

$x = \frac{3 \mp \sqrt{33}}{3}$

$x = 1 \mp \frac{\sqrt{33}}{3}$

したがって、$x = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$ と $x = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$ が、$f'(x) = 0$ となる $x$ です。近似値を計算すると、$x \approx -0.915$ と $x \approx 2.915$ です。

次に、増減表を作成します。$x$ の値として、$1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$ と $1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$ を用います。

| x | ... | $1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$ | ... | $1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$ | ... |

|-----------------|----------|-------------------------|-----------|-------------------------|----------|

| f'(x) | - | 0 | + | 0 | - |

| f(x) | 減少 | 極小 | 増加 | 極大 | 減少 |

$x = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3}$ のとき、

$f(1 - \frac{\sqrt{33}}{3}) = -(1 - \frac{\sqrt{33}}{3})^3 + 3(1 - \frac{\sqrt{33}}{3})^2 + 8(1 - \frac{\sqrt{33}}{3}) - 4 \approx -11.30$

$x = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3}$ のとき、

$f(1 + \frac{\sqrt{33}}{3}) = -(1 + \frac{\sqrt{33}}{3})^3 + 3(1 + \frac{\sqrt{33}}{3})^2 + 8(1 + \frac{\sqrt{33}}{3}) - 4 \approx 16.30$

3. 最終的な答え

関数 $f(x) = -x^3 + 3x^2 + 8x - 4$ は、$x = 1 - \frac{\sqrt{33}}{3} \approx -0.915$ で極小値 $f(1 - \frac{\sqrt{33}}{3}) \approx -11.30$ をとり、$x = 1 + \frac{\sqrt{33}}{3} \approx 2.915$ で極大値 $f(1 + \frac{\sqrt{33}}{3}) \approx 16.30$ をとります。