この問題は、多変数関数の極限と偏微分に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。 * **HW 11.1 (1)**: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ を求めよ。 * **HW 11.1 (2)**: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$ を求めよ。 * **HW 11.2**: 関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べよ。 * **HW 11.3 (1)**: $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分せよ。 * **HW 11.3 (2)**: $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分せよ。

1. 問題の内容

この問題は、多変数関数の極限と偏微分に関するものです。具体的には、以下の3つの小問があります。

* **HW 11.1 (1)**: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}}$ を求めよ。

* **HW 11.1 (2)**: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2}$ を求めよ。

* **HW 11.2**: 関数 $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y$ の定義を述べよ。

* **HW 11.3 (1)**: $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$ を偏微分せよ。

* **HW 11.3 (2)**: $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$ を偏微分せよ。

2. 解き方の手順

* **HW 11.1 (1)**: 極座標変換 $x = r\cos\theta$, $y = r\sin\theta$ を用いると、

$\frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta}{\sqrt{r^2\cos^2\theta + r^2\sin^2\theta}} = \frac{r^2(\cos^2\theta - \sin^2\theta)}{r} = r(\cos^2\theta - \sin^2\theta) = r\cos(2\theta)$.

$(x,y) \to (0,0)$ のとき $r \to 0$ なので、$\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \lim_{r \to 0} r\cos(2\theta) = 0$.

* **HW 11.1 (2)**: $y = mx$ に沿って $(0,0)$ に近づくと、

$\frac{x^2 - 2y^2}{2x^2 + y^2} = \frac{x^2 - 2m^2x^2}{2x^2 + m^2x^2} = \frac{1 - 2m^2}{2 + m^2}$.

この値は $m$ に依存するので、極限は存在しない。例えば、$m=0$ なら $\frac{1}{2}$、$m=1$ なら $-\frac{1}{3}$ と異なる値になる。

* **HW 11.2**: $f(x,y)$ の $y$ についての偏導関数 $f_y(x,y)$ の定義は、

$f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$.

* **HW 11.3 (1)**: $f(x,y) = (3x - 4y + 5)^{10}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot 3 = 30(3x - 4y + 5)^9$.

$\frac{\partial f}{\partial y} = 10(3x - 4y + 5)^9 \cdot (-4) = -40(3x - 4y + 5)^9$.

* **HW 11.3 (2)**: $f(x,y) = \frac{xy}{x^2 + 2y^2}$

$\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{y(x^2 + 2y^2) - xy(2x)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^2y + 2y^3 - 2x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{2y^3 - x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2}$.

$\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x(x^2 + 2y^2) - xy(4y)}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 + 2xy^2 - 4xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2} = \frac{x^3 - 2xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2}$.

3. 最終的な答え

* **HW 11.1 (1)**: $\lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 - y^2}{\sqrt{x^2 + y^2}} = 0$

* **HW 11.1 (2)**: 極限は存在しない

* **HW 11.2**: $f_y(x,y) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x, y+h) - f(x,y)}{h}$

* **HW 11.3 (1)**: $\frac{\partial f}{\partial x} = 30(3x - 4y + 5)^9$, $\frac{\partial f}{\partial y} = -40(3x - 4y + 5)^9$

* **HW 11.3 (2)**: $\frac{\partial f}{\partial x} = \frac{2y^3 - x^2y}{(x^2 + 2y^2)^2}$, $\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{x^3 - 2xy^2}{(x^2 + 2y^2)^2}$