飼料の粗脂肪率のデータが与えられ、母集団が正規分布に従うことがわかっている状態で、母分散の95%信頼区間を求める問題です。データは以下の通りです。 10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

1. 問題の内容

飼料の粗脂肪率のデータが与えられ、母集団が正規分布に従うことがわかっている状態で、母分散の95%信頼区間を求める問題です。データは以下の通りです。

10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

2. 解き方の手順

(1) データのサンプルサイズ $n$ とサンプル平均 $\bar{x}$、不偏分散 $s^2$ を計算します。

(2) 自由度 $df = n - 1$ を計算します。

(3) カイ二乗分布を用いて、信頼区間のパーセンタイル点を求めます。$\chi^2_{\alpha/2, df}$ と $\chi^2_{1-\alpha/2, df}$ を求めます。ここで、$\alpha = 1 - 0.95 = 0.05$ です。

(4) 母分散の95%信頼区間を計算します。信頼区間は以下の式で与えられます。

$\left[ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, df}}, \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, df}} \right]$

具体的な計算:

(1) サンプルサイズ $n = 12$

サンプル平均 $\bar{x} = \frac{1}{12} \sum_{i=1}^{12} x_i = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

不偏分散 $s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x})^2 = \frac{1}{11} \sum_{i=1}^{12} (x_i - 11.0333)^2$

$s^2 = \frac{1}{11} [(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2]$

$s^2 = \frac{1}{11} [0.4000 + 0.0044 + 0.0544 + 0.0044 + 0.0178 + 0.0711 + 0.5378 + 1.7778 + 5.9211 + 4.1333 + 1.0678 + 3.3511] = \frac{17.3308}{11} = 1.5755$

(2) 自由度 $df = n - 1 = 12 - 1 = 11$

(3) カイ二乗分布のパーセンタイル点:

$\chi^2_{0.025, 11} \approx 3.816$

$\chi^2_{0.975, 11} \approx 21.920$

(4) 母分散の95%信頼区間:

$\left[ \frac{(12-1) \times 1.5755}{21.920}, \frac{(12-1) \times 1.5755}{3.816} \right]$

$\left[ \frac{11 \times 1.5755}{21.920}, \frac{11 \times 1.5755}{3.816} \right]$

$\left[ \frac{17.3305}{21.920}, \frac{17.3305}{3.816} \right]$

$[0.7906, 4.5415]$

3. 最終的な答え

$0.7906 < \sigma^2 < 4.5415$