与えられたデータ（粗脂肪率の測定値）から、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。母集団は正規分布に従うことがわかっていますが、母平均は未知です。与えられたデータは以下の通りです。 10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

1. 問題の内容

与えられたデータ（粗脂肪率の測定値）から、母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。母集団は正規分布に従うことがわかっていますが、母平均は未知です。与えられたデータは以下の通りです。

10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

2. 解き方の手順

(1) データの個数 $n$ を数えます。

(2) 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

(3) 不偏分散 $s^2$ を計算します。

(4) 自由度 $n-1$ のカイ二乗分布を使って信頼区間を計算します。

(1) データの個数：$n = 12$

(2) 標本平均：

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

$\bar{x} = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

(3) 不偏分散：

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

$s^2 = \frac{1}{11} [(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2]$

$s^2 = \frac{1}{11} [0.401889 + 0.004489 + 0.054489 + 0.004489 + 0.017789 + 0.071189 + 0.537789 + 1.777789 + 5.921189 + 4.135789 + 1.067789 + 3.361189] = \frac{17.355772}{11} = 1.57779745$

(4) 母分散の信頼区間：

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

ここで、$n-1 = 11$, $\alpha = 0.05$ です。したがって、$\alpha/2 = 0.025$ および $1-\alpha/2 = 0.975$ です。自由度11のカイ二乗分布表から、$\chi^2_{0.025, 11} = 21.920$ および $\chi^2_{0.975, 11} = 3.816$ を得ます。

$\frac{11 \times 1.57779745}{21.920} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.57779745}{3.816}$

$\frac{17.35577195}{21.920} < \sigma^2 < \frac{17.35577195}{3.816}$

$0.791787 < \sigma^2 < 4.5479$

3. 最終的な答え

$0.792 < \sigma^2 < 4.548$