飼料の粗脂肪率のデータが与えられ、母集団は正規分布に従うが母平均は未知であるという条件の下で、母分散$\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。与えられたデータは以下の通りです。 10. 4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

1. 問題の内容

飼料の粗脂肪率のデータが与えられ、母集団は正規分布に従うが母平均は未知であるという条件の下で、母分散$\sigma^2$ の95%信頼区間を求める問題です。与えられたデータは以下の通りです。

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0. 4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

2. 解き方の手順

母分散の信頼区間は、カイ二乗分布を用いて求めます。

ステップ1: データのサンプルサイズ $n$ を求めます。

ステップ2: データの標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_i$

ステップ3: データの不偏標本分散 $s^2$ を計算します。

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

ステップ4: 信頼区間の計算に必要なカイ二乗分布の値を求めます。信頼度95%の場合、自由度 $n-1$ のカイ二乗分布の上側2.5%点 $\chi^2_{0.025, n-1}$ と下側2.5%点 $\chi^2_{0.975, n-1}$ を求めます。

ステップ5: 母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を計算します。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.025, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0.975, n-1}}$

それでは、計算を進めます。

ステップ1: データ数 $n = 12$

ステップ2: 標本平均 $\bar{x}$ を計算します。

$\bar{x} = \frac{10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2}{12} = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

ステップ3: 不偏標本分散 $s^2$ を計算します。

$s^2 = \frac{1}{12-1} \sum_{i=1}^{12} (x_i - \bar{x})^2$

$s^2 = \frac{1}{11} [(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2]$

$s^2 = \frac{1}{11} [0.401889 + 0.004489 + 0.054489 + 0.004489 + 0.017789 + 0.071189 + 0.537789 + 1.777789 + 5.921189 + 4.133789 + 1.067789 + 3.361189] = \frac{17.353732}{11} = 1.577612$

ステップ4: 自由度 $n-1 = 11$ のカイ二乗分布表から、$\chi^2_{0.025, 11} = 21.920$ と $\chi^2_{0.975, 11} = 3.816$ を読み取ります。

ステップ5: 母分散 $\sigma^2$ の95%信頼区間を計算します。

$\frac{(12-1) \times 1.577612}{21.920} < \sigma^2 < \frac{(12-1) \times 1.577612}{3.816}$

$\frac{11 \times 1.577612}{21.920} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.577612}{3.816}$

$\frac{17.353732}{21.920} < \sigma^2 < \frac{17.353732}{3.816}$

$0.7917 < \sigma^2 < 4.5476$

3. 最終的な答え

$0.7917 < \sigma^2 < 4.5476$