与えられた粗脂肪率のデータから、母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことがわかっています。

1. 問題の内容

与えられた粗脂肪率のデータから、母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことがわかっています。

2. 解き方の手順

ステップ1: データの個数 $n$ を確認する。

データは12個あるので、$n = 12$。

ステップ2: 自由度 $\nu$ を計算する。

母平均が既知であるため、自由度は $n$ となります。

$\nu = n = 12$。

ステップ3: $\chi^2$ 分布の値を求める。

信頼区間は99%なので、有意水準 $\alpha$ は $1 - 0.99 = 0.01$ となります。

$\chi^2$ 分布表から、$\chi^2_{\alpha/2, \nu}$ と $\chi^2_{1-\alpha/2, \nu}$ の値を求めます。

$\alpha/2 = 0.005$ なので、$\chi^2_{0.005, 12}$ と $\chi^2_{0.995, 12}$ を探します。

$\chi^2_{0.005, 12} \approx 26.217$

$\chi^2_{0.995, 12} \approx 3.074$

ステップ4: 標本から計算されるカイ二乗統計量を求める。

母平均が既知であるため、以下の式で計算します。

$\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(x_i - \mu)^2}{\sigma^2}$

ここで $\mu = 10.2909$ は既知の母平均。$\sigma^2$を求めるのが目的なので、下記のように変形し、サンプルデータから$\chi^2$を計算します。

$(n-1)s^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$

与えられたデータ: 10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

各データと母平均の差の二乗を計算し、合計します。

$\sum_{i=1}^{12} (x_i - 10.2909)^2 = (10.4-10.2909)^2 + (11.1-10.2909)^2 + (10.8-10.2909)^2 + (11.1-10.2909)^2 + (10.9-10.2909)^2 + (11.3-10.2909)^2 + (10.3-10.2909)^2 + (9.7-10.2909)^2 + (8.6-10.2909)^2 + (9.0-10.2909)^2 + (10.0-10.2909)^2 + (9.2-10.2909)^2$

$\approx 0.0118 + 0.6546 + 0.2591 + 0.6546 + 0.3707 + 1.0182 + 0.0001 + 0.3491 + 2.8593 + 1.6663 + 0.0845 + 1.1899$

$\approx 9.1182$

ステップ5: 母分散の信頼区間を計算する。

母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間は次のように計算されます。

$\frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}{\chi^2_{\alpha/2, \nu}} < \sigma^2 < \frac{\sum_{i=1}^n (x_i - \mu)^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, \nu}}$

$\frac{9.1182}{26.217} < \sigma^2 < \frac{9.1182}{3.074}$

$0.3478 < \sigma^2 < 2.9664$

3. 最終的な答え

母分散の99%信頼区間は $0.3478 < \sigma^2 < 2.9664$