与えられた粗脂肪率のデータから、母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことが分かっています。

1. 問題の内容

与えられた粗脂肪率のデータから、母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間を求める問題です。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことが分かっています。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータから不偏分散 $s^2$ を計算します。

次に、カイ二乗分布を用いて信頼区間を計算します。

(1) 不偏分散 $s^2$ の計算

与えられたデータを $x_i$ とすると、$x_i$ は以下の通りです。

1

0. 4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

データ数 $n = 12$ です。母平均 $\mu = 10.2909$ は既知であるため、不偏分散は以下の式で計算します。

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \mu)^2$

$s^2 = \frac{1}{12} [(10.4 - 10.2909)^2 + (11.1 - 10.2909)^2 + (10.8 - 10.2909)^2 + (11.1 - 10.2909)^2 + (10.9 - 10.2909)^2 + (11.3 - 10.2909)^2 + (10.3 - 10.2909)^2 + (9.7 - 10.2909)^2 + (8.6 - 10.2909)^2 + (9.0 - 10.2909)^2 + (10.0 - 10.2909)^2 + (9.2 - 10.2909)^2]$

$s^2 = \frac{1}{12} [0.011881 + 0.654561 + 0.259121 + 0.654561 + 0.370721 + 1.018281 + 0.000081 + 0.349121 + 2.859721 + 1.666321 + 0.084521 + 1.190161]$

$s^2 = \frac{1}{12} [9.119053] \approx 0.759921$

(2) カイ二乗分布による信頼区間の計算

信頼係数 $1-\alpha = 0.99$ なので、$\alpha = 0.01$ となります。

自由度 $\phi = n = 12$ です。

カイ二乗分布表から、$\chi^2_{\alpha/2, n} = \chi^2_{0.005, 12}$ と $\chi^2_{1-\alpha/2, n} = \chi^2_{0.995, 12}$ の値を求めます。

$\chi^2_{0.005, 12} \approx 26.217$

$\chi^2_{0.995, 12} \approx 3.074$

母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間は以下の式で計算できます。

$\frac{n s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n}} < \sigma^2 < \frac{n s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n}}$

$\frac{12 \times 0.759921}{26.217} < \sigma^2 < \frac{12 \times 0.759921}{3.074}$

$\frac{9.119052}{26.217} < \sigma^2 < \frac{9.119052}{3.074}$

$0.3478 < \sigma^2 < 2.9666$

3. 最終的な答え

$0.3478 < \sigma^2 < 2.9666$