与えられたデータから、母分散の99%信頼区間を求める問題です。データは、飼料の粗脂肪率の測定値で、12個の値があります。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことがわかっています。

1. 問題の内容

与えられたデータから、母分散の99%信頼区間を求める問題です。データは、飼料の粗脂肪率の測定値で、12個の値があります。母集団は平均値10.2909の正規分布に従うことがわかっています。

2. 解き方の手順

(1) データの標本分散 $s^2$ を計算します。

(2) 信頼区間を計算するために、カイ二乗分布を使用します。

(3) 自由度 $n-1$ を計算します（$n$はサンプルサイズ）。

(4) 信頼係数に対応するカイ二乗分布の値を求めます。

(5) 信頼区間の下限と上限を計算します。

まず、与えられたデータから標本分散 $s^2$ を計算します。

データは以下の通りです。

10.4, 11.1, 10.8, 11.1, 10.9, 11.3, 10.3, 9.7, 8.6, 9.0, 10.0, 9.2

データの個数 $n = 12$

データの平均 $\bar{x} = \frac{1}{12} (10.4 + 11.1 + 10.8 + 11.1 + 10.9 + 11.3 + 10.3 + 9.7 + 8.6 + 9.0 + 10.0 + 9.2) = \frac{132.4}{12} = 11.0333$

標本分散 $s^2$ は次のように計算されます。

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

$s^2 = \frac{1}{11} [(10.4-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.8-11.0333)^2 + (11.1-11.0333)^2 + (10.9-11.0333)^2 + (11.3-11.0333)^2 + (10.3-11.0333)^2 + (9.7-11.0333)^2 + (8.6-11.0333)^2 + (9.0-11.0333)^2 + (10.0-11.0333)^2 + (9.2-11.0333)^2 ]$

$s^2 = \frac{1}{11} [0.401889 + 0.004489 + 0.054489 + 0.004489 + 0.017789 + 0.071189 + 0.537789 + 1.777789 + 5.921189 + 4.134489 + 1.067789 + 3.361189]$

$s^2 = \frac{1}{11} [17.354764] = 1.5777$

次に、自由度 $df = n - 1 = 12 - 1 = 11$ を計算します。

信頼度 99% なので、$\alpha = 1 - 0.99 = 0.01$

$\alpha/2 = 0.005$ および $1 - \alpha/2 = 0.995$

カイ二乗分布表から、$\chi^2_{0.005, 11} = 26.757$ と $\chi^2_{0.995, 11} = 2.603$ を見つけます。

母分散 $\sigma^2$ の99%信頼区間は次のようになります。

$\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{\alpha/2, n-1}} < \sigma^2 < \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{1-\alpha/2, n-1}}$

$\frac{11 \times 1.5777}{26.757} < \sigma^2 < \frac{11 \times 1.5777}{2.603}$

$\frac{17.3547}{26.757} < \sigma^2 < \frac{17.3547}{2.603}$

$0.6486 < \sigma^2 < 6.6674$

3. 最終的な答え

0. 6486 < $\sigma^2$ < 6.6674