曲線や直線で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。 (1) $y = x^2$と$y = \sqrt{x}$で囲まれた部分の面積を求めます。 (2) $x + 4y = 5$と$xy = 1$で囲まれた部分の面積を求めます。

はい、承知しました。画像の問題を解きます。

1. 問題の内容

曲線や直線で囲まれた部分の面積Sを求める問題です。

(1) $y = x^2$と$y = \sqrt{x}$で囲まれた部分の面積を求めます。

(2) $x + 4y = 5$と$xy = 1$で囲まれた部分の面積を求めます。

2. 解き方の手順

(1)

まず、$y = x^2$と$y = \sqrt{x}$の交点を求めます。

$x^2 = \sqrt{x}$

$x^4 = x$

$x^4 - x = 0$

$x(x^3 - 1) = 0$

$x = 0, 1$

よって、交点は$(0, 0)$と$(1, 1)$です。

$0 \leq x \leq 1$において、$\sqrt{x} \geq x^2$であるため、面積Sは次の積分で求められます。

$S = \int_{0}^{1} (\sqrt{x} - x^2) dx$

$S = \int_{0}^{1} (x^{\frac{1}{2}} - x^2) dx$

$S = [\frac{2}{3}x^{\frac{3}{2}} - \frac{1}{3}x^3]_0^1$

$S = (\frac{2}{3} - \frac{1}{3}) - (0 - 0)$

$S = \frac{1}{3}$

(2)

まず、$x + 4y = 5$と$xy = 1$の交点を求めます。

$xy = 1$より、$y = \frac{1}{x}$

$x + 4(\frac{1}{x}) = 5$

$x + \frac{4}{x} = 5$

$x^2 + 4 = 5x$

$x^2 - 5x + 4 = 0$

$(x - 1)(x - 4) = 0$

$x = 1, 4$

$x = 1$のとき、$y = 1$

$x = 4$のとき、$y = \frac{1}{4}$

よって、交点は$(1, 1)$と$(4, \frac{1}{4})$です。

$x + 4y = 5$より、$y = \frac{5 - x}{4}$

$S = \int_{1}^{4} (\frac{5 - x}{4} - \frac{1}{x}) dx$

$S = [\frac{5x}{4} - \frac{x^2}{8} - \ln|x|]_1^4$

$S = (\frac{20}{4} - \frac{16}{8} - \ln 4) - (\frac{5}{4} - \frac{1}{8} - \ln 1)$

$S = (5 - 2 - \ln 4) - (\frac{10}{8} - \frac{1}{8} - 0)$

$S = 3 - \ln 4 - \frac{9}{8}$

$S = \frac{24}{8} - \frac{9}{8} - \ln 4$

$S = \frac{15}{8} - \ln 4$

$S = \frac{15}{8} - 2\ln 2$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{15}{8} - 2\ln 2$