問題は二つあります。 (7) $\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{48}}{3}$ を計算する。 (8) $\frac{\sqrt{2}-5}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$ を計算する。

1. 問題の内容

問題は二つあります。

(7) $\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{48}}{3}$ を計算する。

(8) $\frac{\sqrt{2}-5}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$ を計算する。

2. 解き方の手順

(7) $\frac{2}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{48}}{3}$

まず、$\frac{2}{\sqrt{3}}$ を有理化します。分母と分子に $\sqrt{3}$ をかけます。

$\frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{\sqrt{3}\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$

次に、$\sqrt{48}$ を簡単にします。$\sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3}$

したがって、$\frac{\sqrt{48}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$

与式は、$\frac{2\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}+4\sqrt{3}}{3} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$

(8) $\frac{\sqrt{2}-5}{\sqrt{5}} - \frac{\sqrt{5}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}}$

まず、それぞれの項を有理化します。

$\frac{\sqrt{2}-5}{\sqrt{5}} = \frac{(\sqrt{2}-5)\sqrt{5}}{\sqrt{5}\sqrt{5}} = \frac{\sqrt{10}-5\sqrt{5}}{5}$

$\frac{\sqrt{5}-\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \frac{(\sqrt{5}-\sqrt{10})\sqrt{2}}{\sqrt{2}\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{10}-\sqrt{20}}{2} = \frac{\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{2}$

したがって、与式は

$\frac{\sqrt{10}-5\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{10}-2\sqrt{5}}{2} = \frac{2(\sqrt{10}-5\sqrt{5}) - 5(\sqrt{10}-2\sqrt{5})}{10} = \frac{2\sqrt{10}-10\sqrt{5}-5\sqrt{10}+10\sqrt{5}}{10} = \frac{-3\sqrt{10}}{10}$

3. 最終的な答え

(7) $2\sqrt{3}$

(8) $-\frac{3\sqrt{10}}{10}$