与えられた3つの関数を微分する問題です。 (a) $y = 2\cos(5x)$ (b) $y = \tan(4x+3)$ (c) $y = \sin^2(3x)$

1. 問題の内容

与えられた3つの関数を微分する問題です。

(a) $y = 2\cos(5x)$

(b) $y = \tan(4x+3)$

(c) $y = \sin^2(3x)$

2. 解き方の手順

(a) $y = 2\cos(5x)$ の微分：

- $\cos(ax)$ の微分は $-a\sin(ax)$ であることを利用します。

- $y' = 2 \cdot (-\sin(5x)) \cdot 5$

- $y' = -10\sin(5x)$

(b) $y = \tan(4x+3)$ の微分：

- $\tan(ax+b)$ の微分は $a\sec^2(ax+b)$ であることを利用します。

- $y' = \sec^2(4x+3) \cdot 4$

- $y' = 4\sec^2(4x+3)$

(c) $y = \sin^2(3x)$ の微分：

- 合成関数の微分法（チェーンルール）と三角関数の微分を利用します。

- $y = (\sin(3x))^2$ と見て、まず $u = \sin(3x)$ とおくと、$y = u^2$。

- $\frac{dy}{du} = 2u$

- $\frac{du}{dx} = \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x)$

- $\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = 2u \cdot 3\cos(3x)$

- $\frac{dy}{dx} = 2\sin(3x) \cdot 3\cos(3x) = 6\sin(3x)\cos(3x)$

- 三角関数の倍角の公式 $2\sin(x)\cos(x) = \sin(2x)$ を用いると、

$\frac{dy}{dx} = 3(2\sin(3x)\cos(3x)) = 3\sin(6x)$

3. 最終的な答え

(a) $y' = -10\sin(5x)$

(b) $y' = 4\sec^2(4x+3)$

(c) $y' = 3\sin(6x)$