次の2つの関数を微分する問題です。 (a) $y = \sin^{-1} 5x$ (b) $y = \cos^{-1} (3x - 4)$

1. 問題の内容

次の2つの関数を微分する問題です。

(a) $y = \sin^{-1} 5x$

(b) $y = \cos^{-1} (3x - 4)$

2. 解き方の手順

(a) $y = \sin^{-1} 5x$ の微分

逆三角関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \sin^{-1} x = \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ と合成関数の微分法を使用します。

$u = 5x$ とおくと、$y = \sin^{-1} u$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}$です。

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}$

$\frac{du}{dx} = 5$

よって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \cdot 5 = \frac{5}{\sqrt{1 - (5x)^2}} = \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

(b) $y = \cos^{-1} (3x - 4)$ の微分

逆三角関数の微分公式 $\frac{d}{dx} \cos^{-1} x = -\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}$ と合成関数の微分法を使用します。

$v = 3x - 4$ とおくと、$y = \cos^{-1} v$ となり、$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{dv} \cdot \frac{dv}{dx}$です。

$\frac{dy}{dv} = -\frac{1}{\sqrt{1 - v^2}}$

$\frac{dv}{dx} = 3$

よって、

$\frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1 - v^2}} \cdot 3 = -\frac{3}{\sqrt{1 - (3x - 4)^2}} = -\frac{3}{\sqrt{1 - (9x^2 - 24x + 16)}} = -\frac{3}{\sqrt{-9x^2 + 24x - 15}}$

3. 最終的な答え

(a) $\frac{dy}{dx} = \frac{5}{\sqrt{1 - 25x^2}}$

(b) $\frac{dy}{dx} = -\frac{3}{\sqrt{-9x^2 + 24x - 15}}$