関数 $y = (\sin x)^{\cos x}$ の導関数を求めます。

## (6)の問題

1. 問題の内容

関数 $y = (\sin x)^{\cos x}$ の導関数を求めます。

2. 解き方の手順

この関数は $y = f(x)^{g(x)}$ の形をしているので、両辺の自然対数をとってから微分すると計算が楽になります。

1. 両辺の自然対数をとる:

$\ln y = \ln ((\sin x)^{\cos x}) = \cos x \ln(\sin x)$

2. 両辺を $x$ で微分する:

$\frac{d}{dx} (\ln y) = \frac{d}{dx} (\cos x \ln(\sin x))$

左辺は連鎖律を使って、 $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx}$ となります。

右辺は積の微分法を使って、 $\frac{d}{dx} (\cos x) \ln(\sin x) + \cos x \frac{d}{dx} (\ln(\sin x))$ となります。

$\frac{d}{dx} (\cos x) = -\sin x$ であり、 $\frac{d}{dx} (\ln(\sin x)) = \frac{1}{\sin x} \cos x = \cot x$ です。

したがって、 $\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = -\sin x \ln(\sin x) + \cos x \cot x = -\sin x \ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x}$

3. $\frac{dy}{dx}$ を求める:

$\frac{dy}{dx} = y \left(-\sin x \ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)$

$y = (\sin x)^{\cos x}$ を代入すると、

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\cos x} \left(-\sin x \ln(\sin x) + \frac{\cos^2 x}{\sin x} \right)$

4. 式を整理する:

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x \ln(\sin x)}{\sin x} \right)$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = (\sin x)^{\cos x} \left( \frac{\cos^2 x - \sin^2 x \ln(\sin x)}{\sin x} \right)$