次の関数の導関数を求めます。 $y = 2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}}$

## 問題10

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

$y = 2 \cos^{-1} \sqrt{\frac{x+1}{2}}$

2. 解き方の手順

合成関数の微分を行います。まず、$u = \sqrt{\frac{x+1}{2}}$ とおくと、$y = 2 \cos^{-1} u$ となります。

$\frac{dy}{du} = 2 \cdot \frac{-1}{\sqrt{1 - u^2}} = \frac{-2}{\sqrt{1 - \frac{x+1}{2}}} = \frac{-2}{\sqrt{\frac{1-x}{2}}} = \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}}$

次に、

$\frac{du}{dx} = \frac{1}{2} (\frac{x+1}{2})^{-1/2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{4 \sqrt{\frac{x+1}{2}}} = \frac{1}{4} \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{x+1}} = \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{x+1}}$

したがって、連鎖律より

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx} = \frac{-2\sqrt{2}}{\sqrt{1-x}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{4\sqrt{x+1}} = \frac{-4}{4\sqrt{1-x}\sqrt{x+1}} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$

## 問題11

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。

$y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$

2. 解き方の手順

対数微分法を用います。

まず、$y = \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}}$ の両辺の自然対数をとると、

$\ln y = \frac{1}{2} [\ln(x-1) + \ln(x-2) - \ln(x-3) - \ln(x-4)]$

両辺を $x$ で微分すると、

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{2} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} [\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} - \frac{1}{x-3} - \frac{1}{x-4}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{(x-1)(x-2)}{(x-3)(x-4)}} [\frac{(x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{\sqrt{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}}{(x-3)(x-4)} [\frac{(x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-3)}{(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)}]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{2} \frac{[(x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-3)]}{[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]^{3/2}}$

分子を計算すると：

$(x-2)(x-3)(x-4) + (x-1)(x-3)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-4) - (x-1)(x-2)(x-3) =$

$(x^2 - 5x + 6)(x-4) + (x^2 - 4x + 3)(x-4) - (x^2 - 3x + 2)(x-4) - (x^2 - 3x + 2)(x-3) =$

$(x^3 - 9x^2 + 26x - 24) + (x^3 - 8x^2 + 19x - 12) - (x^3 - 7x^2 + 14x - 8) - (x^3 - 6x^2 + 11x - 6) =$

$(1+1-1-1)x^3 + (-9-8+7+6)x^2 + (26+19-14-11)x + (-24-12+8+6) =$

$-4x^2 + 20x - 22$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 10x - 11}{[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]^{3/2}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 + 10x - 11}{[(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)]^{3/2}}$

## 問題12

1. 問題の内容

次の関数の導関数を求めます。$a > 0$

$y = x \sqrt{a^2 - x^2} + a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}$

2. 解き方の手順

各項を個別に微分します。

$\frac{d}{dx} (x \sqrt{a^2 - x^2}) = \sqrt{a^2 - x^2} + x \cdot \frac{1}{2} (a^2 - x^2)^{-1/2} (-2x) = \sqrt{a^2 - x^2} - \frac{x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - x^2 - x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

$\frac{d}{dx} (a^2 \sin^{-1} \frac{x}{a}) = a^2 \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{x}{a})^2}} \cdot \frac{1}{a} = \frac{a^2}{a \sqrt{1 - \frac{x^2}{a^2}}} = \frac{a}{\sqrt{\frac{a^2 - x^2}{a^2}}} = \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}}$

したがって、

$\frac{dy}{dx} = \frac{a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} + \frac{a^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2a^2 - 2x^2}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{2(a^2 - x^2)}{\sqrt{a^2 - x^2}} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = 2\sqrt{a^2 - x^2}$