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与えられた3つの行列のランクを求めます。 (1) $\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ (2) $\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}$ (3) $\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix}$

代数学行列ランク線形代数簡約化
2025/6/19

1. 問題の内容

与えられた3つの行列のランクを求めます。
(1) (212012101)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}
(2) (2−310015−41−13−22−5−98)\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}
(3) (12315−31−19266)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix}

2. 解き方の手順

行列のランクは、その行列の線形独立な行（または列）の最大数です。ランクを求めるには、行列を簡約化して階段行列に変形し、0でない行の数を数えます。
(1) 行列 (212012101)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix} のランクを求めます。
- 3行目を2倍して1行目から引きます: (212012000)\begin{pmatrix} 2 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
- 1行目から2行目を引きます: (200012000)\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
- 1行目を2で割ります: (100012000)\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
- よって、ランクは2です。
(2) 行列 (2−310015−41−13−22−5−98)\begin{pmatrix} 2 & -3 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 1 & -1 & 3 & -2 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix} のランクを求めます。
- 1行目と3行目を入れ替えます: (1−13−2015−42−3102−5−98)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 2 & -3 & 1 & 0 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}.
- 3行目から1行目の2倍を引きます: (1−13−2015−40−1−542−5−98)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 2 & -5 & -9 & 8 \end{pmatrix}.
- 4行目から1行目の2倍を引きます: (1−13−2015−40−1−540−3−1512)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & -1 & -5 & 4 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}.
- 3行目に2行目を加えます: (1−13−2015−400000−3−1512)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -3 & -15 & 12 \end{pmatrix}.
- 4行目に2行目の3倍を加えます: (1−13−2015−400000000)\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & -2 \\ 0 & 1 & 5 & -4 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
- よって、ランクは2です。
(3) 行列 (12315−31−19266)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & -3 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix} のランクを求めます。
- 2行目から1行目を引きます: (12303−61−19266)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 1 & -1 & 9 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix}.
- 3行目から1行目を引きます: (12303−60−36266)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 2 & 6 & 6 \end{pmatrix}.
- 4行目から1行目の2倍を引きます: (12303−60−36020)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 3 & -6 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
- 2行目を3で割ります: (12301−20−36020)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & -3 & 6 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
- 3行目に2行目の3倍を加えます: (12301−2000020)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
- 4行目から2行目の2倍を引きます: (12301−2000004)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \end{pmatrix}.
- 3行目と4行目を入れ替えます: (12301−2004000)\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}.
- よって、ランクは3です。

3. 最終的な答え

(1) 2
(2) 2
(3) 3

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