媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 2\theta - \sin\theta$, $y = 2 - \cos\theta$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

1. 問題の内容

媒介変数 $\theta$ を用いて $x = 2\theta - \sin\theta$, $y = 2 - \cos\theta$ と表されるとき、$\frac{dy}{dx}$ および $\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{dx}{d\theta}$ および $\frac{dy}{d\theta}$ を求めます。

$x = 2\theta - \sin\theta$ より

$\frac{dx}{d\theta} = 2 - \cos\theta$

$y = 2 - \cos\theta$ より

$\frac{dy}{d\theta} = \sin\theta$

$\frac{dy}{dx}$ は $\frac{dy}{d\theta}$ と $\frac{dx}{d\theta}$ を用いて、以下のように表されます。

$\frac{dy}{dx} = \frac{dy/d\theta}{dx/d\theta} = \frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}$

次に、$\frac{d^2y}{dx^2}$ を求めます。$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{dy}{dx}\right)$ であるから、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}\right) = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}\right) \cdot \frac{d\theta}{dx}$

$\frac{d\theta}{dx} = \frac{1}{dx/d\theta}$ なので、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}\right) \cdot \frac{1}{2 - \cos\theta}$

$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}\right)$ を計算します。

$\frac{d}{d\theta}\left(\frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}\right) = \frac{\cos\theta(2 - \cos\theta) - \sin\theta(\sin\theta)}{(2 - \cos\theta)^2} = \frac{2\cos\theta - \cos^2\theta - \sin^2\theta}{(2 - \cos\theta)^2} = \frac{2\cos\theta - 1}{(2 - \cos\theta)^2}$

したがって、

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2\cos\theta - 1}{(2 - \cos\theta)^2} \cdot \frac{1}{2 - \cos\theta} = \frac{2\cos\theta - 1}{(2 - \cos\theta)^3}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{\sin\theta}{2 - \cos\theta}$

$\frac{d^2y}{dx^2} = \frac{2\cos\theta - 1}{(2 - \cos\theta)^3}$