2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 - 2ax + a$ において、$y$ の値が常に正となるような定数 $a$ の値の範囲を求めます。

2. 解き方の手順

$y = x^2 - 2ax + a$ のグラフが常に $x$ 軸より上にある、つまり、$x$ 軸と交わらない条件を考えます。

そのためには、2次方程式 $x^2 - 2ax + a = 0$ が実数解を持たないことが必要です。

これは、判別式 $D$ が $D < 0$ となる条件と同値です。

判別式 $D$ を計算します。

$D = (-2a)^2 - 4(1)(a) = 4a^2 - 4a$

$D < 0$ となる条件は、

$4a^2 - 4a < 0$

$4a(a - 1) < 0$

$a(a - 1) < 0$

この不等式を解くと、$0 < a < 1$ となります。

3. 最終的な答え

$0 < a < 1$