与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の6つの式を展開します。 (1) $(x+y)^5$ (2) $(a-b)^6$ (3) $(x+3)^4$ (4) $(x-2)^5$ (5) $(a+3b)^4$ (6) $(2a+b)^6$

1. 問題の内容

与えられた式を展開する問題です。具体的には、以下の6つの式を展開します。

(1) $(x+y)^5$

(2) $(a-b)^6$

(3) $(x+3)^4$

(4) $(x-2)^5$

(5) $(a+3b)^4$

(6) $(2a+b)^6$

2. 解き方の手順

二項定理を利用して展開します。二項定理は、任意の整数 $n$ に対して、

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$

と表されます。ここで、$\binom{n}{k}$ は二項係数であり、$\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ で計算されます。

(1) $(x+y)^5 = \binom{5}{0}x^5y^0 + \binom{5}{1}x^4y^1 + \binom{5}{2}x^3y^2 + \binom{5}{3}x^2y^3 + \binom{5}{4}x^1y^4 + \binom{5}{5}x^0y^5$

$= x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

(2) $(a-b)^6 = \binom{6}{0}a^6(-b)^0 + \binom{6}{1}a^5(-b)^1 + \binom{6}{2}a^4(-b)^2 + \binom{6}{3}a^3(-b)^3 + \binom{6}{4}a^2(-b)^4 + \binom{6}{5}a^1(-b)^5 + \binom{6}{6}a^0(-b)^6$

$= a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6$

(3) $(x+3)^4 = \binom{4}{0}x^4 3^0 + \binom{4}{1}x^3 3^1 + \binom{4}{2}x^2 3^2 + \binom{4}{3}x^1 3^3 + \binom{4}{4}x^0 3^4$

$= x^4 + 4x^3(3) + 6x^2(9) + 4x(27) + 81$

$= x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

(4) $(x-2)^5 = \binom{5}{0}x^5(-2)^0 + \binom{5}{1}x^4(-2)^1 + \binom{5}{2}x^3(-2)^2 + \binom{5}{3}x^2(-2)^3 + \binom{5}{4}x^1(-2)^4 + \binom{5}{5}x^0(-2)^5$

$= x^5 + 5x^4(-2) + 10x^3(4) + 10x^2(-8) + 5x(16) + (-32)$

$= x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$

(5) $(a+3b)^4 = \binom{4}{0}a^4(3b)^0 + \binom{4}{1}a^3(3b)^1 + \binom{4}{2}a^2(3b)^2 + \binom{4}{3}a^1(3b)^3 + \binom{4}{4}a^0(3b)^4$

$= a^4 + 4a^3(3b) + 6a^2(9b^2) + 4a(27b^3) + 81b^4$

$= a^4 + 12a^3b + 54a^2b^2 + 108ab^3 + 81b^4$

(6) $(2a+b)^6 = \binom{6}{0}(2a)^6 b^0 + \binom{6}{1}(2a)^5 b^1 + \binom{6}{2}(2a)^4 b^2 + \binom{6}{3}(2a)^3 b^3 + \binom{6}{4}(2a)^2 b^4 + \binom{6}{5}(2a)^1 b^5 + \binom{6}{6}(2a)^0 b^6$

$= 64a^6 + 6(32a^5)b + 15(16a^4)b^2 + 20(8a^3)b^3 + 15(4a^2)b^4 + 6(2a)b^5 + b^6$

$= 64a^6 + 192a^5b + 240a^4b^2 + 160a^3b^3 + 60a^2b^4 + 12ab^5 + b^6$

3. 最終的な答え

(1) $x^5 + 5x^4y + 10x^3y^2 + 10x^2y^3 + 5xy^4 + y^5$

(2) $a^6 - 6a^5b + 15a^4b^2 - 20a^3b^3 + 15a^2b^4 - 6ab^5 + b^6$

(3) $x^4 + 12x^3 + 54x^2 + 108x + 81$

(4) $x^5 - 10x^4 + 40x^3 - 80x^2 + 80x - 32$

(5) $a^4 + 12a^3b + 54a^2b^2 + 108ab^3 + 81b^4$

(6) $64a^6 + 192a^5b + 240a^4b^2 + 160a^3b^3 + 60a^2b^4 + 12ab^5 + b^6$