$a$ を正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 4x + 5$ について、$-1 \le x \le a$ の範囲における最大値と最小値、およびそれぞれの $x$ の値を求める。

1. 問題の内容

$a$ を正の定数とする。2次関数 $y = -x^2 + 4x + 5$ について、$-1 \le x \le a$ の範囲における最大値と最小値、およびそれぞれの $x$ の値を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられた2次関数を平方完成します。

$y = -x^2 + 4x + 5 = -(x^2 - 4x) + 5 = -(x^2 - 4x + 4 - 4) + 5 = -(x - 2)^2 + 4 + 5 = -(x - 2)^2 + 9$

したがって、この2次関数の頂点は $(2, 9)$ であり、上に凸な放物線です。

(1) 最大値を求める。

定義域 $-1 \le x \le a$ における最大値を考えます。

頂点の $x$ 座標は $x = 2$ です。

- $a < 2$ のとき、最大値は $x = -1$ のとき $y = -(-1)^2 + 4(-1) + 5 = -1 - 4 + 5 = 0$

- $a \ge 2$ のとき、最大値は $x = 2$ のとき $y = 9$

(2) 最小値を求める。

定義域 $-1 \le x \le a$ における最小値を考えます。

- $a < 2$ のとき、$x = a$ で最小値をとる。最小値は$y = -a^2 + 4a + 5$.

- $a = 2$ のとき、$x = -1$で最小値をとる。最小値は$y = 0$.

- $a > 2$のとき、 $-1$がより頂点から遠いため$x = -1$で最小値をとる。最小値は$y = 0$.

3. 最終的な答え

(1) 最大値

- $a < 2$ のとき、最大値は $0$ ($x = -1$ のとき)

- $a \ge 2$ のとき、最大値は $9$ ($x = 2$ のとき)

(2) 最小値

- $a < 2$ のとき、最小値は $-a^2 + 4a + 5$ ($x = a$ のとき)

- $a \ge 2$ のとき、最小値は $0$ ($x = -1$ のとき)