問題は以下の通りです。 (1) 区別できない赤玉10個を区別できない4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。 (2) 区別できる赤玉10個を区別できる4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。 (3) 区別できる赤玉6個と白玉4個の合計10個を区別できる4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。

1. 問題の内容

問題は以下の通りです。

(1) 区別できない赤玉10個を区別できない4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。

(2) 区別できる赤玉10個を区別できる4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。

(3) 区別できる赤玉6個と白玉4個の合計10個を区別できる4個の箱に分ける方法の数を求めよ。空の箱があっても良い。

2. 解き方の手順

(1) 区別できない赤玉10個を区別できない4個の箱に分ける方法は、10個の玉と3個の仕切りの並べ方を考えるのと同じです。玉と仕切りの合計は13個です。しかし、箱は区別できないので、箱の並び順を考慮する必要はありません。したがって、この問題は、10を4以下の数の和で表す分割数$p(10, 4)$を求める問題になります。

分割を全て列挙します。

10 = 10

10 = 9+1

10 = 8+2 = 8+1+1

10 = 7+3 = 7+2+1 = 7+1+1+1

10 = 6+4 = 6+3+1 = 6+2+2 = 6+2+1+1 = 6+1+1+1+1

10 = 5+5 = 5+4+1 = 5+3+2 = 5+3+1+1 = 5+2+2+1 = 5+2+1+1+1 = 5+1+1+1+1+1

10 = 4+4+2 = 4+4+1+1 = 4+3+3 = 4+3+2+1 = 4+3+1+1+1 = 4+2+2+2 = 4+2+2+1+1 = 4+2+1+1+1+1 = 4+1+1+1+1+1+1

10 = 3+3+3+1 = 3+3+2+2 = 3+3+2+1+1 = 3+3+1+1+1+1 = 3+2+2+2+1 = 3+2+2+1+1+1 = 3+2+1+1+1+1+1 = 3+1+1+1+1+1+1+1

10 = 2+2+2+2+2 = 2+2+2+2+1+1 = 2+2+2+1+1+1+1 = 2+2+1+1+1+1+1+1 = 2+1+1+1+1+1+1+1+1

10 = 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1

4個以下の数の和で表すという条件があるので、和の項数が4以下のものを数えます。

10 = 10

10 = 9+1

10 = 8+2 = 8+1+1

10 = 7+3 = 7+2+1 = 7+1+1+1

10 = 6+4 = 6+3+1 = 6+2+2 = 6+2+1+1

10 = 5+5 = 5+4+1 = 5+3+2 = 5+3+1+1 = 5+2+2+1

10 = 4+4+2 = 4+4+1+1 = 4+3+3 = 4+3+2+1 = 4+2+2+2

10 = 3+3+3+1 = 3+3+2+2

したがって、全部で30通りです。

(2) 区別できる赤玉10個を区別できる4個の箱に分ける方法は、各玉について4通りの入れ方があるので、$4^{10}$通りです。

(3) 区別できる赤玉6個と白玉4個の合計10個を区別できる4個の箱に分ける方法は、まず10個の玉を区別できるので、$4^{10}$通りの入れ方があります。

3. 最終的な答え

(1) 30通り

(2) $4^{10}$通り

(3) $4^{10}$通り