与えられた極限を計算します。問題は次の通りです。 $\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{2n+k}$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。問題は次の通りです。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{2n+k}$

2. 解き方の手順

この極限を計算するために、リーマン和の考え方を利用します。

まず、和を$n$で割って変形します。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{2n+k} = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n} \frac{1}{2+\frac{k}{n}}$

ここで、$\frac{k}{n}$ を $x_k$ とおきます。$x_k$ の範囲は $k=1$ のとき $\frac{1}{n}$ であり、$k=3n$ のとき $\frac{3n}{n} = 3$ です。

$n \to \infty$ のとき、$\frac{1}{n} \to 0$ なので、積分範囲は $0$ から $3$ になります。

よって、リーマン和を積分に変換すると、次のようになります。

$\lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{3n} \frac{1}{n} \frac{1}{2+\frac{k}{n}} = \int_0^3 \frac{1}{2+x} dx$

この積分を計算します。

$\int_0^3 \frac{1}{2+x} dx = [\ln(2+x)]_0^3 = \ln(2+3) - \ln(2+0) = \ln(5) - \ln(2) = \ln(\frac{5}{2})$

3. 最終的な答え

最終的な答えは $\ln(\frac{5}{2})$ です。

$\ln(5/2)$