関数 $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ の最大値と最小値を求める。

1. 問題の内容

関数 $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ の最大値と最小値を求める。

2. 解き方の手順

関数 $y = \frac{x-1}{x^2+1}$ の最大値、最小値を求めるために、まずこの式を変形して、$x$ の二次方程式の判別式を考える。

まず、$y = \frac{x-1}{x^2+1}$ より、

$y(x^2+1) = x-1$

$yx^2 + y = x-1$

$yx^2 - x + y + 1 = 0$

$x$ の二次方程式 $yx^2 - x + y + 1 = 0$ が実数解を持つための条件は、判別式 $D \geq 0$ である。

$D = (-1)^2 - 4(y)(y+1) = 1 - 4y^2 - 4y \geq 0$

$4y^2 + 4y - 1 \leq 0$

$4y^2 + 4y - 1 = 0$ を解くと、

$y = \frac{-4 \pm \sqrt{4^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-4 \pm \sqrt{16+16}}{8} = \frac{-4 \pm \sqrt{32}}{8} = \frac{-4 \pm 4\sqrt{2}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{2}}{2}$

したがって、$4y^2 + 4y - 1 \leq 0$ を満たす $y$ の範囲は、

$\frac{-1 - \sqrt{2}}{2} \leq y \leq \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$

$y$ の最大値は $\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$ であり、$yx^2 - x + y + 1 = 0$ に代入すると、

$\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}x^2 - x + \frac{-1 + \sqrt{2}}{2} + 1 = 0$

$\frac{-1 + \sqrt{2}}{2}x^2 - x + \frac{1 + \sqrt{2}}{2} = 0$

$(-1 + \sqrt{2})x^2 - 2x + (1 + \sqrt{2}) = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1 + \sqrt{2})(1 + \sqrt{2})}}{2(-1 + \sqrt{2})} = \frac{2}{2(-1 + \sqrt{2})} = \frac{1}{-1 + \sqrt{2}} = \frac{1 + \sqrt{2}}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = 1 + \sqrt{2}$

$y$ の最小値は $\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}$ であり、$yx^2 - x + y + 1 = 0$ に代入すると、

$\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}x^2 - x + \frac{-1 - \sqrt{2}}{2} + 1 = 0$

$\frac{-1 - \sqrt{2}}{2}x^2 - x + \frac{1 - \sqrt{2}}{2} = 0$

$(-1 - \sqrt{2})x^2 - 2x + (1 - \sqrt{2}) = 0$

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4(-1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})}}{2(-1 - \sqrt{2})} = \frac{2}{2(-1 - \sqrt{2})} = \frac{1}{-1 - \sqrt{2}} = \frac{1 - \sqrt{2}}{(-1 - \sqrt{2})(1 - \sqrt{2})} = \frac{1 - \sqrt{2}}{1} = 1 - \sqrt{2}$

3. 最終的な答え

最大値: $y = \frac{-1 + \sqrt{2}}{2}$

最小値: $y = \frac{-1 - \sqrt{2}}{2}$