与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。 $f(x, y) = \begin{cases} \frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\ c & (x, y) = (0, 0) \end{cases}$ (1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。 (3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

1. 問題の内容

与えられた関数 $f(x, y)$ について、以下の問いに答えます。

$f(x, y) = \begin{cases}

\frac{2x^3y - 3xy^3}{x^2 + y^2} + xy^3 & (x, y) \neq (0, 0) \\

c & (x, y) = (0, 0)

\end{cases}$

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求めます。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求めます。

2. 解き方の手順

(1) $c = 0$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

偏微分の定義より

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = \frac{2h^3 \cdot 0 - 3h \cdot 0^3}{h^2 + 0^2} + h \cdot 0^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ なので、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 0}{h} = 0$

同様に、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = \frac{2 \cdot 0^3 \cdot k - 3 \cdot 0 \cdot k^3}{0^2 + k^2} + 0 \cdot k^3 = 0$

$f(0, 0) = 0$ なので、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 0}{k} = 0$

(2) $c = 1$ のとき、$f_x(0, 0)$ と $f_y(0, 0)$ を求める。

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h, 0) - f(0, 0)}{h}$

$f(h, 0) = 0$

$f(0, 0) = 1$ なので、

$f_x(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{0 - 1}{h} = \lim_{h \to 0} -\frac{1}{h}$

これは発散するので、$f_x(0,0)$は存在しません。

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f(0, k) - f(0, 0)}{k}$

$f(0, k) = 0$

$f(0, 0) = 1$ なので、

$f_y(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{0 - 1}{k} = \lim_{k \to 0} -\frac{1}{k}$

これも発散するので、$f_y(0,0)$は存在しません。

(3) $c = 0$ のとき、$f_{xy}(0, 0)$ と $f_{yx}(0, 0)$ を求める。

まず、$x \neq 0$ に対して、$f_y(x, 0)$ を求める。

$f_y(x, y) = \frac{(2x^3 - 9xy^2)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2y)}{(x^2 + y^2)^2} + 3xy^2 + y^3$

$f_y(x, 0) = \frac{2x^5}{x^4} = 2x$

よって、$f_{xy}(0, 0) = \lim_{h \to 0} \frac{f_y(h, 0) - f_y(0, 0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{2h - 0}{h} = 2$

次に、$f_x(0, y)$ を求める。

$f_x(x, y) = \frac{(6x^2y - 3y^3)(x^2 + y^2) - (2x^3y - 3xy^3)(2x)}{(x^2 + y^2)^2} + y^3$

$f_x(0, y) = \frac{-3y^5}{y^4} + y^3 = -3y + y^3$

$f_{yx}(0, 0) = \lim_{k \to 0} \frac{f_x(0, k) - f_x(0, 0)}{k} = \lim_{k \to 0} \frac{-3k + k^3 - 0}{k} = -3$

3. 最終的な答え

(1) $f_x(0, 0) = 0$, $f_y(0, 0) = 0$

(2) $f_x(0, 0)$ は存在しない, $f_y(0, 0)$ は存在しない

(3) $f_{xy}(0, 0) = 2$, $f_{yx}(0, 0) = -3$