$n, p, q$を正の整数とするとき、積分$\int_{-1}^1 x(3x^n - px - q)^2 dx = 0$ となるための$n, p, q$の条件を求める。

1. 問題の内容

$n, p, q$を正の整数とするとき、積分$\int_{-1}^1 x(3x^n - px - q)^2 dx = 0$ となるための$n, p, q$の条件を求める。

2. 解き方の手順

まず、被積分関数を展開します。

$$x(3x^n - px - q)^2 = x(9x^{2n} + p^2x^2 + q^2 - 6px^{n+1} - 6qx^n + 2pqx) = 9x^{2n+1} + p^2x^3 + q^2x - 6px^{n+2} - 6qx^{n+1} + 2pqx^2$$

次に、積分を計算します。積分区間が $-1$ から $1$ であるため、奇関数は積分すると $0$ になります。

$$\int_{-1}^1 x^{k} dx = \begin{cases} 0, & \text{if } k \text{ is odd} \\ \frac{2}{k+1}, & \text{if } k \text{ is even} \end{cases}$$

したがって、

$$\int_{-1}^1 [9x^{2n+1} + p^2x^3 + q^2x - 6px^{n+2} - 6qx^{n+1} + 2pqx^2] dx = 0$$

$$\int_{-1}^1 9x^{2n+1} dx + \int_{-1}^1 p^2x^3 dx + \int_{-1}^1 q^2x dx - \int_{-1}^1 6px^{n+2} dx - \int_{-1}^1 6qx^{n+1} dx + \int_{-1}^1 2pqx^2 dx = 0$$

第1項、第2項、第3項は奇関数なので積分は $0$ となります。

$$-6p\int_{-1}^1 x^{n+2} dx - 6q\int_{-1}^1 x^{n+1} dx + 2pq\int_{-1}^1 x^2 dx = 0$$

$$-6p\int_{-1}^1 x^{n+2} dx - 6q\int_{-1}^1 x^{n+1} dx + 2pq \cdot \frac{2}{3} = 0$$

$$-6p\int_{-1}^1 x^{n+2} dx - 6q\int_{-1}^1 x^{n+1} dx + \frac{4pq}{3} = 0$$

$$\frac{4pq}{3} = 6p\int_{-1}^1 x^{n+2} dx + 6q\int_{-1}^1 x^{n+1} dx$$

$$\frac{2pq}{9} = p\int_{-1}^1 x^{n+2} dx + q\int_{-1}^1 x^{n+1} dx$$

ここで、$n$が偶数のとき、$n+2$ は偶数、$n+1$ は奇数であるため、$\int_{-1}^1 x^{n+1} dx = 0$。

$$\frac{2pq}{9} = p \frac{2}{n+3} + q \cdot 0 = \frac{2p}{n+3}$$

$$\frac{q}{9} = \frac{1}{n+3}$$

$$q(n+3) = 9$$

$q$ と $n+3$ は正の整数なので、$q$は$9$の約数。$q=1, 3, 9$

$q=1$ のとき $n+3 = 9$ なので $n=6$

$q=3$ のとき $n+3 = 3$ なので $n=0$。これは正の整数という条件を満たさない。

$q=9$ のとき $n+3 = 1$ なので $n=-2$。これは正の整数という条件を満たさない。

よって、$n=6, q=1$

$n$が奇数のとき、$n+2$ は奇数、$n+1$ は偶数であるため、$\int_{-1}^1 x^{n+2} dx = 0$。

$$\frac{2pq}{9} = p \cdot 0 + q \frac{2}{n+2} = \frac{2q}{n+2}$$

$$\frac{p}{9} = \frac{1}{n+2}$$

$$p(n+2) = 9$$

$p$ と $n+2$ は正の整数なので、$p$は$9$の約数。$p=1, 3, 9$

$p=1$ のとき $n+2 = 9$ なので $n=7$

$p=3$ のとき $n+2 = 3$ なので $n=1$

$p=9$ のとき $n+2 = 1$ なので $n=-1$。これは正の整数という条件を満たさない。

よって、$n=7, p=1$ または $n=1, p=3$

3. 最終的な答え

$(n, p, q) = (6, p, 1)$, $(7, 1, q)$, $(1, 3, q)$。

ここで、$p,q$ は任意の正の整数である。

条件は以下の通りです：

* $n = 6$ かつ $q = 1$

* $n = 7$ かつ $p = 1$

* $n = 1$ かつ $p = 3$