極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + (\frac{k}{n})^2)}$ を求めよ。

## 問題 2

1. 問題の内容

極限 $\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + (\frac{k}{n})^2)}$ を求めよ。

2. 解き方の手順

この極限はリーマン和の形をしているので、定積分に変換して計算する。

まず、与えられた式をリーマン和の形に書き換える。

$\lim_{n\to\infty} \frac{1}{n} \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{(1 + (\frac{k}{n})^2)} = \int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx$

ここで、$x = \tan \theta$ と置換積分を行う。$dx = \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta$, また、$1 + x^2 = 1 + \tan^2 \theta = \frac{1}{\cos^2 \theta}$。

$x=0$ のとき $\theta = 0$, $x=1$ のとき $\theta = \frac{\pi}{4}$ であるから、

$\int_{0}^{1} \frac{1}{1 + x^2} dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \frac{1}{1 + \tan^2 \theta} \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} \cos^2 \theta \frac{1}{\cos^2 \theta} d\theta = \int_{0}^{\frac{\pi}{4}} 1 d\theta = [\theta]_{0}^{\frac{\pi}{4}} = \frac{\pi}{4}$

3. 最終的な答え

$\frac{\pi}{4}$

## 問題 3

1. 問題の内容

平面上の点 Q の座標が $(3\cos t + \cos 3t, 3\sin t - \sin 3t)$ で表されるとき、$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ の範囲で点 Q が描く曲線の長さを求めよ。

2. 解き方の手順

曲線の長さは、パラメータ表示された曲線 $(x(t), y(t))$ に対して、$t$ が $a$ から $b$ まで変化するときの長さが $\int_{a}^{b} \sqrt{(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2} dt$ で与えられる。

まず、$\frac{dx}{dt}$ と $\frac{dy}{dt}$ を計算する。

$\frac{dx}{dt} = -3\sin t - 3\sin 3t$

$\frac{dy}{dt} = 3\cos t - 3\cos 3t$

$(\frac{dx}{dt})^2 + (\frac{dy}{dt})^2 = (-3\sin t - 3\sin 3t)^2 + (3\cos t - 3\cos 3t)^2 = 9(\sin^2 t + 2\sin t \sin 3t + \sin^2 3t) + 9(\cos^2 t - 2\cos t \cos 3t + \cos^2 3t) = 9(\sin^2 t + \cos^2 t + \sin^2 3t + \cos^2 3t + 2(\sin t \sin 3t - \cos t \cos 3t)) = 9(1 + 1 - 2\cos(3t+t)) = 9(2 - 2\cos 4t) = 18(1 - \cos 4t) = 18(2\sin^2 2t) = 36\sin^2 2t$

したがって、曲線の長さは

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{36\sin^2 2t} dt = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6|\sin 2t| dt$

$0 \le t \le \frac{\pi}{2}$ のとき、$0 \le 2t \le \pi$ なので、$\sin 2t \ge 0$ である。

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} 6\sin 2t dt = 6\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \sin 2t dt = 6[-\frac{1}{2}\cos 2t]_{0}^{\frac{\pi}{2}} = -3(\cos \pi - \cos 0) = -3(-1 - 1) = 6$

3. 最終的な答え

6

## 問題 4

1. 問題の内容

数直線上で原点から出発し、$t$ 秒後の速度が $v = e^t \sin t$ であるように運動する点 P について、

(1) 出発してから $t$ 秒後の P の位置を求めよ。

(2) 出発してから $2\pi$ 秒の間に P の動く範囲を求めよ。

(3) 出発してから $2\pi$ 秒の間に P の動いた道のりを求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 位置は速度を積分することで求められる。初期位置は原点であるから、

$x(t) = \int_{0}^{t} e^s \sin s ds$

ここで部分積分を行う。$I = \int e^s \sin s ds$ とおくと、

$I = e^s \sin s - \int e^s \cos s ds = e^s \sin s - (e^s \cos s - \int e^s (-\sin s) ds) = e^s \sin s - e^s \cos s - \int e^s \sin s ds = e^s \sin s - e^s \cos s - I$

$2I = e^s (\sin s - \cos s) \implies I = \frac{1}{2}e^s (\sin s - \cos s)$

よって、$x(t) = \frac{1}{2}e^t (\sin t - \cos t) - \frac{1}{2}e^0 (\sin 0 - \cos 0) = \frac{1}{2}e^t (\sin t - \cos t) + \frac{1}{2}$

(2) 動く範囲を求めるには、速度が 0 になる点を調べる。$e^t \sin t = 0$ より、$\sin t = 0$ となる。$0 \le t \le 2\pi$ の範囲では、$t = 0, \pi, 2\pi$ である。

$x(0) = \frac{1}{2}e^0 (\sin 0 - \cos 0) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(-1) + \frac{1}{2} = 0$

$x(\pi) = \frac{1}{2}e^{\pi} (\sin \pi - \cos \pi) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{\pi} (0 - (-1)) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2}$

$x(2\pi) = \frac{1}{2}e^{2\pi} (\sin 2\pi - \cos 2\pi) + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}e^{2\pi} (0 - 1) + \frac{1}{2} = -\frac{1}{2}e^{2\pi} + \frac{1}{2}$

よって、P の動く範囲は $[-\frac{1}{2}e^{2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2}]$

(3) 動いた道のりは $\int_{0}^{2\pi} |v| dt = \int_{0}^{2\pi} |e^t \sin t| dt = \int_{0}^{2\pi} e^t |\sin t| dt = \int_{0}^{\pi} e^t \sin t dt - \int_{\pi}^{2\pi} e^t \sin t dt$

$\int_{0}^{\pi} e^t \sin t dt = [\frac{1}{2}e^t (\sin t - \cos t)]_{0}^{\pi} = \frac{1}{2}e^{\pi}(0 - (-1)) - \frac{1}{2}(0 - 1) = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2}$

$\int_{\pi}^{2\pi} e^t \sin t dt = [\frac{1}{2}e^t (\sin t - \cos t)]_{\pi}^{2\pi} = \frac{1}{2}e^{2\pi}(0 - 1) - \frac{1}{2}e^{\pi}(0 - (-1)) = -\frac{1}{2}e^{2\pi} - \frac{1}{2}e^{\pi}$

$\int_{0}^{2\pi} |e^t \sin t| dt = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2} - (-\frac{1}{2}e^{2\pi} - \frac{1}{2}e^{\pi}) = \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}e^{2\pi} + \frac{1}{2}e^{\pi} = \frac{1}{2} + e^{\pi} + \frac{1}{2}e^{2\pi}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{2}e^t (\sin t - \cos t) + \frac{1}{2}$

(2) $[-\frac{1}{2}e^{2\pi} + \frac{1}{2}, \frac{1}{2}e^{\pi} + \frac{1}{2}]$

(3) $\frac{1}{2} + e^{\pi} + \frac{1}{2}e^{2\pi}$