500人に対して商品A、B、Cの市場調査を行った結果、商品Aを買った人は256人、商品Bを買った人は243人、商品Cを買った人は208人だった。また、3種類とも買った人は25人、どの商品も買わなかった人は18人だった。このとき、2種類以上の商品を買った人の人数を求める。

1. 問題の内容

500人に対して商品A、B、Cの市場調査を行った結果、商品Aを買った人は256人、商品Bを買った人は243人、商品Cを買った人は208人だった。また、3種類とも買った人は25人、どの商品も買わなかった人は18人だった。このとき、2種類以上の商品を買った人の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベン図をイメージして考えます。全体を$U$、商品Aを買った人の集合を$A$、商品Bを買った人の集合を$B$、商品Cを買った人の集合を$C$とします。

$|U| = 500$

$|A| = 256$

$|B| = 243$

$|C| = 208$

$|A \cap B \cap C| = 25$

どの商品も買わなかった人の数は18なので、$|U - (A \cup B \cup C)| = 18$

まず、$A \cup B \cup C$の要素数を求めます。

$|A \cup B \cup C| = |U| - |U - (A \cup B \cup C)| = 500 - 18 = 482$

包除原理より、

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

$482 = 256 + 243 + 208 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + 25$

$482 = 732 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + 25$

$482 = 757 - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C|$

$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 757 - 482 = 275$

2種類以上の商品を買った人の数は、$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 \times |A \cap B \cap C|$で求められます。

これは、$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|$の中に、$A \cap B \cap C$の要素が3回含まれているため、2回引く必要があります。

求める人数 $= |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2|A \cap B \cap C| = 275 - 2 \times 25 = 275 - 50 = 225$

3. 最終的な答え

225人