500人を対象に商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを買った人は287人、商品Bを買った人は216人、商品Cを買った人は195人、3種類全てを買った人は23人、どの商品も買わなかった人は15人である。このとき、2種類以上の商品を買った人の人数を求める。

1. 問題の内容

500人を対象に商品A, B, Cの市場調査を行った。商品Aを買った人は287人、商品Bを買った人は216人、商品Cを買った人は195人、3種類全てを買った人は23人、どの商品も買わなかった人は15人である。このとき、2種類以上の商品を買った人の人数を求める。

2. 解き方の手順

まず、ベン図を用いて考える。

全体で500人おり、どの商品も買わなかった人が15人なので、少なくとも1つの商品を買った人は $500 - 15 = 485$ 人である。

次に、商品A, B, Cの少なくとも1つを買った人の数の公式を用いる。

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

ここで、$|A \cup B \cup C|$ は少なくとも1つの商品を買った人の数、$|A|$ は商品Aを買った人の数、$|B|$ は商品Bを買った人の数、$|C|$ は商品Cを買った人の数、$|A \cap B|$ は商品AとBを買った人の数、$|A \cap C|$ は商品AとCを買った人の数、$|B \cap C|$ は商品BとCを買った人の数、$|A \cap B \cap C|$ は商品A, B, C全てを買った人の数である。

2種類以上の商品を買った人の数を求めるには、まず1種類だけ買った人の数を求め、全体から引く方法もあるが、ここでは直接2種類以上買った人の数を求める。

商品A, B, Cのいずれか2種類以上を買った人の数を$x$とすると、

$|A \cup B \cup C| = |A| + |B| + |C| - |A \cap B| - |A \cap C| - |B \cap C| + |A \cap B \cap C|$

を変形して、

$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 3 |A \cap B \cap C|$ が2種類だけ買った人の数であり、$|A \cap B \cap C|$が3種類買った人の数であるから、$x=|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 |A \cap B \cap C|$を求める必要がある。

一方、2種類以上買った人の数は

($|A \cap B| - |A \cap B \cap C|$) + ($|A \cap C| - |A \cap B \cap C|$) + ($|B \cap C| - |A \cap B \cap C|$) + $|A \cap B \cap C|$

= $|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 |A \cap B \cap C|$ である。

$485 = 287 + 216 + 195 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|) + 23$

$485 = 698 + 23 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$

$485 = 721 - (|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C|)$

$|A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| = 721 - 485 = 236$

2種類以上の商品を買った人の数

$= |A \cap B| + |A \cap C| + |B \cap C| - 2 |A \cap B \cap C|$

$= 236 - 2 \times 23$

$= 236 - 46$

$= 190$

3. 最終的な答え

190人