$a$ は定数であり、7個の値からなるデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ の中央値が $16$ である。このとき、$a$ の値と、データの四分位範囲を求める。

1. 問題の内容

$a$ は定数であり、7個の値からなるデータ $7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ の中央値が $16$ である。このとき、$a$ の値と、データの四分位範囲を求める。

2. 解き方の手順

まず、与えられたデータを小さい順に並べ替えることを考える。

$a-15, a+1$ の位置が問題なので、いくつかのケースに分けて考える。

7つのデータの個数は奇数なので、中央値は小さい方から4番目の値である。中央値が16であることから、$a-15$ と $a+1$ の位置を特定していく。

まず、$a-15$ と $a+1$ を含むデータを小さい順に並べ替える。

データの中央値は $16$ なので、並び替えたデータにおいて、4番目の値が $16$ になる。

したがって、$12 < 16 < 22$ である。

ここで、$a-15$ と $a+1$ の大小関係を考えると、$a-15 < a+1$ である。

(1) $a-15$ と $a+1$ が共に $16$ より小さい場合。

このとき、$7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$ の並び替えを考えると、中央値は $a+1$ となる。

したがって、$a+1 = 16$ より、$a = 15$ である。

このとき、$a-15 = 0$ となり、データは $0, 7, 9, 12, 16, 22, 34$ となる。

これは条件を満たす。

(2) $a-15$ は $16$ より小さく、$a+1$ は $16$ より大きい場合。

このとき、$a-15 < 16 < a+1$ を満たす必要がある。

$a-15, 7, 9, 12, 16, 22, 34, a+1$ が考えられる。

例えば、$7, 9, 12, a-15, a+1, 22, 34$ と並ぶ場合、$a+1 = 16$ にはならない。

この場合、$a-15 < 16 < a+1$ であり、小さい順に並べ替えると、4番目の数が $16$ になる必要がある。

(3) $a-15$ と $a+1$ が共に $16$ より大きい場合。

$7, 9, 12, 22, 34, a-15, a+1$ の並び替えを考えると、中央値が $16$ にはならない。

したがって、$a=15$ である。

このとき、データは $7, 9, 12, 22, 34, 0, 16$ となる。

小さい順に並べ替えると、$0, 7, 9, 12, 16, 22, 34$ である。

第一四分位数は $7$ と $9$ の平均なので、$(7+9)/2 = 8$

第三四分位数は $22$ と $16$ の平均ではないので、データの中央値より大きい方の真ん中なので、$22$となる。

四分位範囲は $Q_3 - Q_1 = 22 - 8 = 14$

3. 最終的な答え

$a = 15$

四分位範囲 $= 14$