袋Aには赤玉4個、白玉1個、袋Bには赤玉1個、白玉4個が入っている。袋Cは最初は空である。袋Aと袋Bから同時に1個ずつ玉を取り出し、袋Cに入れる操作を考える。 (1) 1回の操作で袋Cに赤玉1個と白玉1個が入る確率を求めよ。 (2) 2回の操作後、袋Cに赤玉3個、白玉1個が入っている確率を求めよ。

1. 問題の内容

袋Aには赤玉4個、白玉1個、袋Bには赤玉1個、白玉4個が入っている。袋Cは最初は空である。袋Aと袋Bから同時に1個ずつ玉を取り出し、袋Cに入れる操作を考える。

(1) 1回の操作で袋Cに赤玉1個と白玉1個が入る確率を求めよ。

(2) 2回の操作後、袋Cに赤玉3個、白玉1個が入っている確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 1回の操作で袋Cに赤玉1個と白玉1個が入る確率を求める。

袋Aから赤玉、袋Bから白玉を取り出す場合と、袋Aから白玉、袋Bから赤玉を取り出す場合がある。

* 袋Aから赤玉、袋Bから白玉を取り出す確率は、

$\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$

* 袋Aから白玉、袋Bから赤玉を取り出す確率は、

$\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

したがって、袋Cに赤玉1個と白玉1個が入る確率は、

$\frac{16}{25} + \frac{1}{25} = \frac{17}{25}$

(2) 2回の操作後、袋Cに赤玉3個、白玉1個が入っている確率を求める。

1回目の操作後に袋Cに入っている玉の組み合わせを考える。

* (ア)赤玉2個の場合

* (イ)白玉2個の場合

* (ウ)赤玉1個、白玉1個の場合

2回目の操作で赤玉3個、白玉1個になるのは、

(ウ)の状態で、次に赤玉2個を取り出す場合のみである。

したがって、1回目の操作で赤玉1個、白玉1個となる確率$\frac{17}{25}$が必要となる。

1回目の操作で赤玉1個、白玉1個だった場合、袋Aと袋Bから玉を取り出した後の袋の状態は、それぞれ玉を取り出した色によって変わるが、袋Cには赤玉1個と白玉1個が入っている状態である。2回目の操作で赤玉2個となる確率は、袋Aから赤玉を取り、袋Bからも赤玉を取り出す場合のみなので、この時の確率は

$\frac{3}{5} \times \frac{0}{5} = 0$

ではないことに注意する。

袋Aには赤玉3個、白玉1個が残っており、袋Bには赤玉0個、白玉4個が残っている。

この状態から、袋Aから赤玉を、袋Bから赤玉を取り出すことはありえない。

1回目の操作で袋Cに赤玉1個、白玉1個が入った場合、袋Aと袋Bには合計8個の玉が残っており、袋Aには赤玉か白玉が3個か4個残っており、袋Bには赤玉か白玉が0個か3個残っている。

2回目の操作で、袋Cに赤玉3個、白玉1個が入るためには、袋Aと袋Bから取り出す玉が赤玉である必要がある。

1回目の操作の結果によって、袋Aと袋Bに入っている玉の数が変化するため、場合分けを行う必要がある。

* 1回目にAから赤玉、Bから白玉を取り出した場合：確率は $\frac{4}{5} \times \frac{4}{5} = \frac{16}{25}$

袋Aには赤玉3個、白玉1個が残っており、袋Bには赤玉1個、白玉3個が残っている。

2回目にAから赤玉、Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{3}{4} \times \frac{0}{4} = 0$

* 1回目にAから白玉、Bから赤玉を取り出した場合：確率は $\frac{1}{5} \times \frac{1}{5} = \frac{1}{25}$

袋Aには赤玉4個、白玉0個が残っており、袋Bには赤玉0個、白玉4個が残っている。

2回目にAから赤玉、Bから赤玉を取り出す確率は $\frac{4}{4} \times \frac{0}{4} = 0$

1回目の操作で赤玉1個、白玉1個になっている場合、2回目の操作で赤玉2個を取り出すことはできない。したがって確率は0である。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{17}{25}$

(2) $0$