2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ の最小値が4であるとき、定数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

2次関数 $y = x^2 + 6x + 5a - 2$ の最小値が4であるとき、定数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

与えられた2次関数を平方完成します。

$y = x^2 + 6x + 5a - 2$

$y = (x^2 + 6x) + 5a - 2$

$y = (x^2 + 6x + 9 - 9) + 5a - 2$

$y = (x + 3)^2 - 9 + 5a - 2$

$y = (x + 3)^2 + 5a - 11$

この2次関数のグラフは下に凸の放物線であり、頂点の $y$ 座標が最小値となります。

最小値が4であることから、以下の式が成り立ちます。

$5a - 11 = 4$

この式を $a$ について解きます。

$5a = 15$

$a = 3$

3. 最終的な答え

$a = 3$