$$(1+2i)x - (2-i)y = x + 2xi - 2y + yi = (x-2y) + (2x+y)i = 3$$

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1. 問題の内容

問題147は、複素数の等式 $(1+2i)x - (2-i)y = 3$ を満たす実数 $x$ と $y$ の値を求める問題です。

問題148の(1)は、複素数の計算 $\{(-1+2i) - (6-3i)\}^2$ を計算する問題です。

問題148の(2)は、複素数の計算 $\frac{5}{2+i} - \frac{10i}{2-i}$ を計算する問題です。

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2. 解き方の手順

### 問題147

1. 与えられた式を展開します。

$$(1+2i)x - (2-i)y = x + 2xi - 2y + yi = (x-2y) + (2x+y)i = 3$$

2. 複素数の相等条件より、実部と虚部がそれぞれ等しくなるので、以下の連立方程式が得られます。

$$x - 2y = 3$$

$$2x + y = 0$$

3. 2番目の式から $y = -2x$ を得て、これを1番目の式に代入します。

$$x - 2(-2x) = 3$$

$$x + 4x = 3$$

$$5x = 3$$

$$x = \frac{3}{5}$$

4. $y = -2x$ に $x = \frac{3}{5}$ を代入します。

$$y = -2 \cdot \frac{3}{5} = -\frac{6}{5}$$

### 問題148(1)

1. 括弧の中を計算します。

$$(-1+2i) - (6-3i) = -1 + 2i - 6 + 3i = -7 + 5i$$

2. 計算結果を二乗します。

$$(-7+5i)^2 = (-7)^2 + 2(-7)(5i) + (5i)^2 = 49 - 70i + 25i^2 = 49 - 70i - 25 = 24 - 70i$$

### 問題148(2)

1. それぞれの分数を実数化します。

$$\frac{5}{2+i} = \frac{5(2-i)}{(2+i)(2-i)} = \frac{10 - 5i}{4 - i^2} = \frac{10 - 5i}{4 + 1} = \frac{10 - 5i}{5} = 2 - i$$

$$\frac{10i}{2-i} = \frac{10i(2+i)}{(2-i)(2+i)} = \frac{20i + 10i^2}{4 - i^2} = \frac{20i - 10}{4 + 1} = \frac{-10 + 20i}{5} = -2 + 4i$$

2. 計算します。

$$(2-i) - (-2+4i) = 2 - i + 2 - 4i = 4 - 5i$$

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3. 最終的な答え

問題147: $x = \frac{3}{5}$, $y = -\frac{6}{5}$

問題148(1): $24 - 70i$

問題148(2): $4 - 5i$