複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。 (1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求める。 (2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求める。 (3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求める。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求める。 (4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示す。

1. 問題の内容

複素数平面上に3点A($z$), B($z^3$), C($z^5$)がある。

(1) A, B, Cが異なる3点となるための$z$の条件を求める。

(2) 異なる3点A, B, Cが同一直線上にあるような$z$をすべて求める。

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になるとき、$z^2$の値をすべて求める。そのとき、さらにA, B, Cがこの順に反時計回りの位置にあるような$z$をすべて求める。

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$|z|<1$が成り立つことを示す。

2. 解き方の手順

(1) A, B, Cが異なる3点である条件は、$z \neq z^3$, $z \neq z^5$, $z^3 \neq z^5$を満たすことである。

$z \neq z^3 \Leftrightarrow z(z^2 - 1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1$

$z \neq z^5 \Leftrightarrow z(z^4 - 1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1, z \neq \pm i$

$z^3 \neq z^5 \Leftrightarrow z^3(z^2 - 1) \neq 0 \Leftrightarrow z \neq 0, z \neq \pm 1$

したがって、$z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) A, B, Cが同一直線上にある条件は、$\frac{z^3 - z}{z^5 - z}$が実数であることである。

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{z(z^2 - 1)}{z(z^4 - 1)} = \frac{z^2 - 1}{z^4 - 1} = \frac{z^2 - 1}{(z^2 - 1)(z^2 + 1)} = \frac{1}{z^2 + 1}$

これが実数である条件は、$z^2+1$が実数であることである。

$z = x + yi$とすると、$z^2 = (x+yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi$

$z^2 + 1 = x^2 - y^2 + 1 + 2xyi$

$z^2+1$が実数であるためには、$2xy = 0$。よって、$x=0$または$y=0$。

$x=0$のとき、$z = yi$なので、$z = ki$ ($k$は実数)。ただし、$z \neq 0, \pm i$より、$k \neq 0, \pm 1$

$y=0$のとき、$z = x$なので、$z$は実数。ただし、$z \neq 0, \pm 1$

(3) A, B, Cが正三角形の頂点になる条件は、

$z + \omega z^3 + \omega^2 z^5 = 0$または$z + \omega^2 z^3 + \omega z^5 = 0$, $\omega = \frac{-1 + \sqrt{3}i}{2}$

$z(1 + \omega z^2 + \omega^2 z^4) = 0$ or $z(1 + \omega^2 z^2 + \omega z^4) = 0$

$z \neq 0$なので、$1 + \omega z^2 + \omega^2 z^4 = 0$ or $1 + \omega^2 z^2 + \omega z^4 = 0$

$z^4 + \omega z^2 + \omega^2 = 0$ or $z^4 + \omega^2 z^2 + \omega = 0$

仮にA, B, Cが反時計回りにあるとき、

$\frac{z^3 - z}{z^5 - z} = \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z^2 + 1 = 2 / (1 + \sqrt{3}i) = 2 (1 - \sqrt{3}i) / 4 = \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z^2 = - \frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

$z^2 = e^{i \frac{4}{3}\pi}$

(4) 直線ACと直線BCが垂直であるとき、$\frac{z^5 - z}{z^3 - z}$が純虚数である。

$\frac{z^5 - z}{z^3 - z} = \frac{z^4 - 1}{z^2 - 1} = \frac{(z^2-1)(z^2+1)}{z^2 - 1} = z^2 + 1$

$z^2 + 1$が純虚数であるとき、$z^2 = -1 + bi$, $z^2 = (x + yi)^2 = x^2 - y^2 + 2xyi = -1 + bi$

$x^2 - y^2 = -1$ and $2xy = b$, $x^2 = y^2 - 1$

$z = x + iy$とする、$|z| < 1 \Leftrightarrow x^2 + y^2 < 1$

$y^2 - 1 + y^2 < 1 \Leftrightarrow 2y^2 < 2 \Leftrightarrow y^2 < 1$

3. 最終的な答え

(1) $z \neq 0, \pm 1, \pm i$

(2) $z = ki$ ($k$は実数, $k \neq 0, \pm 1$) または $z$は実数 ($z \neq 0, \pm 1$)

(3) $z^2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2}i$

(4) 証明完了